《2025年全程助学与学习评估八年级数学上册浙教版》

任务 1 确定位置：
如图 1,要在一条笔直的路边 $ l $ 上建一个气化站,向 $ l $ 同侧的 $ A $,$ B $ 两个城镇分别铺设管道输送天然气. 试确定气化站的位置,使铺设管道的路线最短.

答案：

任务 2 理论依据：
如图 2,作出点 $ A $ 关于 $ l $ 的对称点 $ A' $,线段 $ A'B $ 与直线 $ l $ 的交点 $ C $ 的位置即为所求,即在点 $ C $ 处建气化站,所得路线 $ ACB $ 是最短的.
为了证明点 $ C $ 的位置即为所求,不妨在直线 $ l $ 上另外任取一点 $ C' $,连结 $ AC' $,$ BC' $,证明 $ AC + CB ＜ AC' + C'B $. 请完成这个证明.

答案： 证明：
∵点$A$与$A'$关于直线$l$对称，
∴$AC = A'C$，$AC' = A'C'$（对称点到对称轴上任意一点距离相等）。
∵$C$在$A'B$上，
∴$AC + CB = A'C + CB = A'B$（等量代换）。
在$\triangle A'C'B$中，$A'C' + C'B ＞ A'B$（三角形两边之和大于第三边），
即$AC' + C'B ＞ A'B$（等量代换）。
∴$AC + CB ＜ AC' + C'B$。