《2025年全程助学与学习评估八年级数学上册浙教版》

7. 下列命题中,不正确的是 (A)
A.同旁内角互补
B.若 $ |a| = -a $,则 $ a \leqslant 0 $
C.如果一个数的平方根是它本身,那么这个数只能是 $ 0 $
D.如果一个数的立方根是它本身,那么这个数可能是 $ 0 $,$ 1 $ 或 $ -1 $

答案： A

▲8. 对于数对 $ (a,b) $,$ (c,d) $,定义：当且仅当 $ a = c $ 且 $ b = d $ 时,$ (a,b) = (c,d) $.定义其运算如下：$ (a,b)※(c,d) = (ac - bd,ad + bc) $,如 $ (1,2)※(3,4) = (1 × 3 - 2 × 4,1 × 4 + 2 × 3) = (-5,10) $.若 $ (x,y)※(1,1) = (1,3) $,则 $ x^{y} $ 的值是 2.

答案： 根据定义，$(x,y)※(1,1)=(x \cdot 1 - y \cdot 1, x \cdot 1 + y \cdot 1) = (x - y, x + y)$。
已知 $(x,y)※(1,1) = (1,3)$，则：
$\begin{cases}x - y = 1, \\x + y = 3.\end{cases}$
将两个方程相加，得到：
$2x = 4 \implies x = 2$，
将 $x = 2$ 代入 $x - y = 1$，得到：
$2 - y = 1 \implies y = 1$，
所以 $x^y = 2^1 = 2$。
故答案为：$2$。

9. 现规定 $ a $,$ b $ 两数之间的一种运算,记作 $ (a,b) $：若 $ a^{c} = b $,则 $ (a,b) = c $.如 $ (2,8) = 3 $.试说明下列结论均正确.
(1) 对于任意自然数 $ n $,都有 $ (3^{n},4^{n}) = (3,4) $.
(2) $ (3,4) + (3,5) = (3,20) $.

答案：
(1)设$(3,4)=c$，由定义得$3^c = 4$。则$(3^n)^c = 3^{nc}=(3^c)^n=4^n$，由定义知$(3^n,4^n)=c$，故$(3^n,4^n)=(3,4)$。
(2)设$(3,4)=a$，$(3,5)=b$，由定义得$3^a = 4$，$3^b = 5$。则$3^{a+b}=3^a \cdot 3^b=4×5=20$，由定义知$(3,20)=a+b$，故$(3,4)+(3,5)=(3,20)$。

10. 定义一种对于三位数 $\overline{abc}$($a$,$b$,$c$ 不完全相同)的“$ F $ 运算”：重排 $\overline{abc}$ 的三个数位上的数字,计算所得最大三位数和最小三位数的差(允许百位数字为零).如：若 $\overline{abc} = 213 $,则 $\boxed{213} \xrightarrow{F} \boxed{198} $($ 321 - 123 = 198 $)$ \xrightarrow{F} \boxed{792} $($ 981 - 189 = 792 $).
(1) $ 579 $ 经过三次“$ F $ 运算”得495.
(2) 假设 $\overline{abc} $ 中 $ a ＞ b ＞ c $,则 $\overline{abc} $ 经过一次“$ F $ 运算”得$99(a - c)$(用代数式表示).
★(3) 猜想：任意一个三位数经过若干次“$ F $ 运算”都会得到一个定值495,请证明你的猜想.

答案：
(1)495；
(2)$99(a - c)$；
(3)495。