《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版福建专版》

【典型例题】分解因式：
(1) $ x^{2}-\frac{1}{36}y^{2} $；(2) $ 9a^{2}-16b^{2} $；
(3) $ -4a^{2}b^{2}+1 $；
(4) $ 9(a+2b)^{2}-4(a-b)^{2} $。
思路导引 先整理成两数平方差的形式,再运用平方差公式进行因式分解。
【解】(1) $ x^{2}-\frac{1}{36}y^{2} $
$ =x^{2}-(\frac{1}{6}y)^{2} $
$ =(x+\frac{1}{6}y)(x-\frac{1}{6}y) $。
(2) $ 9a^{2}-16b^{2} $
$ =(3a)^{2}-(4b)^{2} $
$ =(3a+4b)(3a-4b) $。
(3) $ -4a^{2}b^{2}+1 $
$ =1-4a^{2}b^{2} $
$ =(1+2ab)(1-2ab) $。
(4) $ 9(a+2b)^{2}-4(a-b)^{2} $
$ =[3(a+2b)]^{2}-[2(a-b)]^{2} $
$ =[3(a+2b)+2(a-b)][3(a+2b)-2(a-b)] $
$ =(5a+4b)(a+8b) $。

答案：
(1) $x^{2}-\frac{1}{36}y^{2}$
$=x^{2}-\left(\frac{1}{6}y\right)^{2}$
$=\left(x+\frac{1}{6}y\right)\left(x-\frac{1}{6}y\right)$
(2) $9a^{2}-16b^{2}$
$=(3a)^{2}-(4b)^{2}$
$=(3a+4b)(3a-4b)$
(3) $-4a^{2}b^{2}+1$
$=1-4a^{2}b^{2}$
$=1^{2}-(2ab)^{2}$
$=(1+2ab)(1-2ab)$
(4) $9(a+2b)^{2}-4(a-b)^{2}$
$=[3(a+2b)]^{2}-[2(a-b)]^{2}$
$=[3(a+2b)+2(a-b)][3(a+2b)-2(a-b)]$
$=(3a+6b+2a-2b)(3a+6b-2a+2b)$
$=(5a+4b)(a+8b)$

1. 如果实数 $ x,y $ 满足方程组 $ \begin{cases}x-y= -\frac{1}{2},\\2x+2y= 5,\end{cases} $ 那么 $ x^{2}-y^{2} $ 的值为$-\frac{5}{4}$。

答案： $-\frac{5}{4}$（或写为 -1.25，根据题目要求选择表示方式，此处以分数形式给出）

2. 分解因式：
(1) $ 16-9a^{2} $；
(2) $ 4m^{2}-n^{2} $；
(3) $ (a-b)^{2}-4b^{2} $；
(4) $ 36(x-y)^{2}-x^{4} $。

答案：
(1)
解：原式 $16 - 9a^{2}$
$= (4)^{2} - (3a)^{2}$
$= (4 + 3a)(4 - 3a)$
(2)
解：原式 $4m^{2} - n^{2}$
$= (2m)^{2} - n^{2}$
$= (2m + n)(2m - n)$
(3)
解：原式 $(a - b)^{2} - 4b^{2}$
$= (a - b)^{2} - (2b)^{2}$
$= (a - b + 2b)(a - b - 2b)$
$= (a + b)(a - 3b)$
(4)
解：原式 $36(x - y)^{2} - x^{4}$
$= \lbrack 6(x - y)\rbrack^{2} - (x^{2})^{2}$
$= [6(x - y) + x^{2}][6(x - y) - x^{2}]$
$= (x^{2} + 6x - 6y)(-x^{2} + 6x - 6y)$
$= - (x^{2} + 6x - 6y)(x^{2} - 6x + 6y)$

1. 下列各式中,不能用平方差公式分解因式的是(B)
A.$ y^{2}-49x^{2} $
B.$ -\frac{1}{49}-x^{4} $
C.$ \frac{1}{4}(p+q)^{2}-9 $
D.$ -m^{4}+n^{2} $

答案： B