《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版福建专版》

【典型例题 1】如图,已知 $AB = DC$,$AF = DE$,$BE = CF$。求证：

(1)$\triangle ABF\cong\triangle DCE$；
(2)$AF// DE$。
【证明】(1)$\because BE = CF$,
$\therefore BE - EF = CF - EF$,即 $BF = CE$。
在$\triangle ABF和\triangle DCE$中,
$\begin{cases}AB = DC,\\AF = DE,\\BF = CE,\end{cases} $$\therefore\triangle ABF\cong\triangle DCE(SSS)$。
(2)$\because\triangle ABF\cong\triangle DCE$,$\therefore\angle AFB = \angle DEC$。又$\angle AFB + \angle AFE = 180^{\circ}$,$\angle DEC + \angle DEF = 180^{\circ}$,$\therefore\angle AFE = \angle DEF$,
$\therefore AF// DE$。
规律方法 寻找线段相等的方法：(1)利用中点的定义找到相等线段；(2)图形中的隐含条件,如公共边(有时需要添加辅助线构造公共边)；(3)多条线段共线时,利用线段的和差关系证明线段相等；(4)利用全等三角形的性质得到线段相等；(5)等腰三角形的两腰相等。

答案： （1）
$\because BE = CF$，
$\therefore BE - EF = CF - EF$，
即$BF = CE$，
在$\triangle ABF$和$\triangle DCE$中，
$\begin{cases}AB = DC, \\ AF = DE, \\ BF = CE,\end{cases}$
$\therefore \triangle ABF \cong \triangle DCE (SSS)$。
（2）
$\because \triangle ABF \cong \triangle DCE$，
$\therefore \angle AFB = \angle DEC$，
又$\angle AFB + \angle AFE = 180^{\circ}$，
$\angle DEC + \angle DEF = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle AFE = \angle DEF$，
$\therefore AF // DE$。

1. 如图,以$\triangle ABC$的顶点 $A$ 为圆心,以 $BC$ 长为半径作弧,再以顶点 $C$ 为圆心,以 $AB$ 长为半径作弧,两弧交于点 $D$,连接 $AD$,$CD$。若$\angle B = 65^{\circ}$,则$\angle ADC$的大小为(A)

A.$65^{\circ}$
B.$130^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$115^{\circ}$

答案： A

【典型例题 2】如图,已知线段 $a$,$b$,求作$\triangle ABC$,使 $BC = a$,$AB = AC = b$。

【解】作法：如图。

(1)作线段 $BC = a$；
(2)分别以点 $B$,$C$为圆心,线段 $b$ 为半径作弧,两弧相交于点 $A$；
(3)连接 $AB$,$AC$,则$\triangle ABC$就是所求作的三角形。
规律方法 在确保三边能构成三角形的前提下,利用直尺和圆规作出三角形,且所作三角形唯一。

答案： 作法：
(1)作线段$BC = a$；
(2)分别以点$B$，$C$为圆心，线段$b$为半径作弧，两弧相交于点$A$；
(3)连接$AB$，$AC$，则$\triangle ABC$就是所求作的三角形。

2. 数轴的一部分如图所示,其单位长度为 $a$,已知在$\triangle ABC$中,$AB = 3a$,$BC = 4a$,$AC = 5a$。用尺规作出$\triangle ABC$,使点 $A$,$C$在数轴上。

答案： 答题卡：
1. 首先，在数轴上确定点$A$的位置。
设点$A$表示的数为$0$。
2. 然后，用圆规在数轴上量取$AC = 5a$的长度。
以点$A$为圆心，$5a$为半径画弧，与数轴正方向交点为点$C$。
3. 接着，求点$B$的位置。
以点$A$为圆心，$3a$为半径画弧。
以点$C$为圆心，$4a$为半径画弧。
两弧在数轴上方（或下方，因为全等三角形位置关于数轴对称也符合要求）的交点即为点$B$。
4. 最后，连接$AB$、$BC$，得到$\triangle ABC$。
综上，按上述步骤作出$\triangle ABC$，使点$A$，$C$在数轴上。