《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版福建专版》

【典型例题 1】 计算：(1)$2ab(5ab^{2}+3a^{2}b)$；
(2)$(-2a - 3a^{2}b^{2})\cdot (-\frac{4}{5}abc)$；
(3)$\frac{1}{2}m^{2}n^{3}(-2mn^{2}+2m^{2}n - 1)$。
思路导引 单项式×多项式$\xrightarrow[转化]{乘法对加法的分配律}$单项式乘积的和。
【解】 (1)原式$=2ab\cdot 5ab^{2}+2ab\cdot 3a^{2}b = 10a^{2}b^{3}+6a^{3}b^{2}$。
(2)原式$=(-2a)\cdot (-\frac{4}{5}abc)+(-3a^{2}b^{2})\cdot (-\frac{4}{5}abc)= \frac{8}{5}a^{2}bc+\frac{12}{5}a^{3}b^{3}c$。
(3)原式$=(\frac{1}{2}m^{2}n^{3})\cdot (-2mn^{2})+(\frac{1}{2}m^{2}n^{3})\cdot (2m^{2}n)-(\frac{1}{2}m^{2}n^{3})\cdot 1= -m^{3}n^{5}+m^{4}n^{4}-\frac{1}{2}m^{2}n^{3}$。
规律方法 1. 单项式乘多项式的依据是乘法的分配律,法则中的“每一项”是指含有性质符号的项。
2. 单项式乘多项式,其积仍是多项式,项数与原多项式(没有同类项)的项数相同,不要漏乘项。
3. 积中符号的确定与去括号法则基本一致,括号前的单项式系数为正数,去括号后多项式各项系数的符号都不变,否则都改变。

答案：
(1)
原式$=2ab(5ab^{2}+3a^{2}b)$
$=2ab\cdot5ab^{2}+2ab\cdot3a^{2}b$
$=10a^{2}b^{3}+6a^{3}b^{2}$
(2)
原式$=(-2a - 3a^{2}b^{2})\cdot(-\frac{4}{5}abc)$
$=(-2a)\cdot(-\frac{4}{5}abc)+(-3a^{2}b^{2})\cdot(-\frac{4}{5}abc)$
$=\frac{8}{5}a^{2}bc+\frac{12}{5}a^{3}b^{3}c$
(3)
原式$=\frac{1}{2}m^{2}n^{3}(-2mn^{2}+2m^{2}n - 1)$
$=(\frac{1}{2}m^{2}n^{3})\cdot(-2mn^{2})+(\frac{1}{2}m^{2}n^{3})\cdot(2m^{2}n)-(\frac{1}{2}m^{2}n^{3})\cdot1$
$=-m^{3}n^{5}+m^{4}n^{4}-\frac{1}{2}m^{2}n^{3}$

1. 计算$(-3x^{2})(1 - 2x)$结果正确的是(B)
A.$6x^{3}-3$
B.$6x^{3}-3x^{2}$
C.$-6x^{3}-3x^{2}$
D.$6x^{3}+3x^{2}$

答案： B

2. 计算：
(1)$5x(2x^{2}-3x + 4)$；
(2)$(8x^{2}+4y - 3y^{2})\cdot (-\frac{1}{2}xy)^{3}$。

答案：
(1)
根据单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
$5x(2x^{2}-3x + 4)=5x×2x^{2}-5x×3x + 5x×4$
$=10x^{3}-15x^{2}+20x$
(2)
先计算$(-\frac{1}{2}xy)^{3}$，根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$可得：
$(-\frac{1}{2}xy)^{3}=(-\frac{1}{2})^{3}x^{3}y^{3}=-\frac{1}{8}x^{3}y^{3}$
则$(8x^{2}+4y - 3y^{2})\cdot(-\frac{1}{2}xy)^{3}=(8x^{2}+4y - 3y^{2})\cdot(-\frac{1}{8}x^{3}y^{3})$
$=8x^{2}×(-\frac{1}{8}x^{3}y^{3})+4y×(-\frac{1}{8}x^{3}y^{3})-3y^{2}×(-\frac{1}{8}x^{3}y^{3})$
$=-x^{5}y^{3}-\frac{1}{2}x^{3}y^{4}+\frac{3}{8}x^{3}y^{5}$
综上，答案依次为：
(1)$10x^{3}-15x^{2}+20x$；
(2)$-x^{5}y^{3}-\frac{1}{2}x^{3}y^{4}+\frac{3}{8}x^{3}y^{5}$。

【典型例题 2】 先化简,再求值：
$[xy(x^{2}-3y)+3xy^{2}]\cdot (-2xy)+x^{3}y^{2}(2x - y)$,其中$x = -\frac{1}{2}$,$y = -2$。
思路导引 先利用单项式乘多项式的法则进行化简,再代入数计算求值。
【解】 原式$=(x^{3}y - 3xy^{2}+3xy^{2})\cdot (-2xy)+2x^{4}y^{2}-x^{3}y^{3}= -2x^{4}y^{2}+2x^{4}y^{2}-x^{3}y^{3}= -x^{3}y^{3}$。
当$x = -\frac{1}{2}$,$y = -2$时,原式$=-(-\frac{1}{2})^{3}× (-2)^{3}= -1$。
规律方法 进行单项式与多项式相乘的综合运算时,应注意运算顺序,有括号先算括号里面的,最后有同类项时,必须合并,从而得到最简结果。

答案： $-1$