《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版福建专版》

2. 如图,点$O在直角三角形ABC$中,$\angle ABC = 30^{\circ}$,$OM \perp AB于点M$,$ON \perp BC于点N$,若$OM = ON$,则$\angle ABO$为15°.

答案： 15°

3. 如图,$DE \perp CA于点E$,$DF \perp CB于点F$,$AD = BD$,$\angle CAD + \angle CBD = 180^{\circ}$,求证：$CD平分\angle ACB$.

答案： 证明：
∵DE⊥CA，DF⊥CB，
∴∠AED=∠BFD=90°（垂直定义）。
∵∠CAD + ∠CBD=180°，
∴∠CBD=180° - ∠CAD。
∵∠FBD=180° - ∠CBD（邻补角定义），
∴∠FBD=∠CAD（等量代换），即∠FBD=∠EAD。
在△AED和△BFD中，
∠AED=∠BFD，
∠EAD=∠FBD，
AD=BD，
∴△AED≌△BFD（AAS）。
∴DE=DF（全等三角形对应边相等）。
∵DE⊥CA，DF⊥CB，
∴点D在∠ACB的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
∴CD平分∠ACB。

4. 如图,已知点$P到AE$,$AD$,$BC$的距离相等,下列说法：①点$P在\angle BAC$的平分线上；②点$P在\angle CBE$的平分线上；③点$P在\angle BCD$的平分线上；④点$P为\angle BAC$,$\angle CBE$,$\angle BCD$的平分线的交点. 其中正确的是①②③④.(填序号)

答案： ①②③④

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 80^{\circ}$,$\angle ABC = 40^{\circ}$,若$BE平分\angle ABC$,$CE平分外角\angle ACD$,连接$AE$,求$\angle AEB$的度数.

答案： 120°

6. 如图,$AE \perp AB$,$AF \perp AC$,$AE = AB$,$AF = AC$.
(1)图中$EC$,$BF$有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论.
(2)连接$AM$,求证：$MA平分\angle EMF$.

答案：
(1) EC=BF且EC⊥BF.
证明：
∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB=∠FAC=90°.
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°+∠BAC，∠BAF=∠FAC+∠BAC=90°+∠BAC，
∴∠EAC=∠BAF.
在△EAC和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AB \\ ∠EAC=∠BAF \\ AC=AF\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAF(SAS)，
∴EC=BF，∠AEC=∠ABF.
设EC与BF交于点M，在△EAB中，∠EAB=90°，
∴∠AEC+∠AEB=90°（此处应为∠AEC+∠EBA的余角，修正：在△EOM和△BOA中，∠E=∠B，∠EOA=∠BOB，
∴∠EMB=∠EAB=90°），
∴∠EMB=90°，即EC⊥BF.
(2) 证明：
过点A作AG⊥EC于G，AH⊥BF于H.
∵△EAC≌△BAF，
∴S△EAC=S△BAF，EC=BF.
∵S△EAC=$\frac{1}{2}$·EC·AG，S△BAF=$\frac{1}{2}$·BF·AH，
∴$\frac{1}{2}$·EC·AG=$\frac{1}{2}$·BF·AH，又EC=BF，
∴AG=AH.
∵AG⊥EM，AH⊥FM，
∴点A在∠EMF的平分线上，即MA平分∠EMF.