《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版福建专版》

1. (2024·青海中考)如图,$OC$ 平分 $\angle AOB$,点 $P$ 在 $OC$ 上,$PD \perp OB$,$PD = 2$,则点 $P$ 到 $OA$ 的距离是(C)

A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$1$

答案： C

2. 如图,在平面直角坐标系中,以 $O$ 为圆心,适当长为半径作弧,交 $x$ 轴于点 $M$,交 $y$ 轴于点 $N$,再分别以点 $M$,$N$ 为圆心,大于 $\frac{1}{2}MN$ 的长为半径作弧,两弧在第二象限交于点 $P$. 若点 $P$ 的坐标为 $(a,b)$,则 $a$ 与 $b$ 的数量关系为$a + b = 0$（或$a=-b$等价）.

答案： $a + b = 0$（或$a=-b$等价）

3. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,以点 $C$ 为圆心,任意长为半径作弧,分别交 $AC$,$BC$ 于点 $D$,$E$,分别以点 $D$,$E$ 为圆心,大于 $\frac{1}{2}DE$ 的长为半径作弧,两弧交于点 $F$,作射线 $CF$ 交 $AB$ 于点 $G$,若 $AC = 9$,$BC = 6$,$\triangle BCG$ 的面积为 $8$,则 $\triangle ACG$ 的面积为12.

答案： 12

4. 如图,已知 $OC$ 是 $\angle AOB$ 的平分线,$P$ 是 $OC$ 上的一点,$PD \perp OA$,$PE \perp OB$,垂足分别为 $D$,$E$,点 $F$ 是 $OC$ 上的另一点,连接 $DF$,$EF$. 求证 $DF = EF$.

答案： 证明：
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义）。
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∵PD=PE，OP=OP，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），
∴OD=OE（全等三角形的对应边相等）。
在△ODF和△OEF中，
∵OD=OE，∠DOF=∠EOF（OC是∠AOB的平分线），OF=OF，
∴△ODF≌△OEF（SAS），
∴DF=EF（全等三角形的对应边相等）。

5. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$BC ＞ BA$,$AD = DC$,$BD$ 平分 $\angle ABC$,试猜想 $\angle BAD$ 与 $\angle DCB$ 的关系,并说明理由.

答案： ∠BAD + ∠DCB = 180°。
理由：过点D作DE⊥BA交BA的延长线于E，作DF⊥BC于F。
∵BD平分∠ABC，
∴DE = DF（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∵AD = DC，DE = DF，
∴Rt△ADE ≌ Rt△CDF（HL）。
∴∠DAE = ∠DCF。
∵∠BAD + ∠DAE = 180°（平角的定义），
∴∠BAD + ∠DCF = 180°，即∠BAD + ∠DCB = 180°。