《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版福建专版》

【典型例题】 计算：
(1) $(x + 2y)(x - 2y)$；
(2) $(-2x + 3)(5 - 3x)$；
(3) $(a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$；
(4) $(1 - x + y)(x + y)$。
思路导引 多项式与多项式相乘时,要按照一定的顺序进行运算,做到不重不漏；要注意符号问题,每一项都包含前面的符号；如果结果中有同类项,一定要合并同类项。
【解】 (1) $(x + 2y)(x - 2y) = x\cdot x - x\cdot 2y + 2y\cdot x - 2y\cdot 2y = x^{2} - 2xy + 2xy - 4y^{2} = x^{2} - 4y^{2}$。
(2) $(-2x + 3)(5 - 3x) = (-2x)\cdot (-3x) - 2x\cdot 5 - 3\cdot 3x + 3×5 = 6x^{2} - 10x - 9x + 15 = 6x^{2} - 19x + 15$。
(3) $(a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) = a\cdot a^{2} + a\cdot ab + a\cdot b^{2} - b\cdot a^{2} - b\cdot ab - b\cdot b^{2} = a^{3} + a^{2}b + ab^{2} - a^{2}b - ab^{2} - b^{3} = a^{3} - b^{3}$。
(4) $(1 - x + y)(x + y) = x + y - x^{2} - xy + xy + y^{2} = x + y - x^{2} + y^{2}$。
规律方法 1. 多项式乘多项式的运算法则的实质是将多项式与多项式相乘的形式转化为几个单项式的乘积相加的形式。
2. 多项式与多项式相乘的结果仍是多项式,在未合并同类项之前,所得积的项数应为两个多项式的项数的积。
3. 多项式乘多项式的运算法则也适用于多个多项式相乘,即按照顺序先将前两个多项式相乘,再把乘积与第三个多项式相乘,依次类推。

答案：
(1)
$\begin{aligned}&(x + 2y)(x - 2y)\\=&x\cdot x - x\cdot 2y + 2y\cdot x - 2y\cdot 2y\\=&x^{2}-2xy + 2xy-4y^{2}\\=&x^{2}-4y^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(-2x + 3)(5 - 3x)\\=&(-2x)×5+(-2x)×(-3x)+3×5 + 3×(-3x)\\=&-10x + 6x^{2}+15-9x\\=&6x^{2}-19x + 15\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(a - b)(a^{2} + ab + b^{2})\\=&a× a^{2}+a× ab+a× b^{2}-b× a^{2}-b× ab - b× b^{2}\\=&a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b - ab^{2}-b^{3}\\=&a^{3}-b^{3}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&(1 - x + y)(x + y)\\=&1× x+1× y - x× x - x× y+y× x+y× y\\=&x + y - x^{2}-xy+xy + y^{2}\\=&x + y - x^{2}+y^{2}\end{aligned}$

1. 若 $(y + 3)(y - 2) = y^{2} + my + n$,则 $m$,$n$的值分别为(B)
A.$m = 5$,$n = 6$
B.$m = 1$,$n = -6$
C.$m = 1$,$n = 6$
D.$m = 5$,$n = -6$

答案： B

2. 计算：
(1) $(3x + 1)(x + 2)$；
(2) $(x - 8y)(x - y)$；
(3) $(x + a)(x + b)$。

答案：
(1) $(3x + 1)(x + 2)$
$=3x \cdot x + 3x \cdot 2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 2$
$=3x^2 + 6x + x + 2$
$=3x^2 + 7x + 2$
(2) $(x - 8y)(x - y)$
$=x \cdot x + x \cdot (-y) - 8y \cdot x + (-8y) \cdot (-y)$
$=x^2 - xy - 8xy + 8y^2$
$=x^2 - 9xy + 8y^2$
(3) $(x + a)(x + b)$
$=x \cdot x + x \cdot b + a \cdot x + a \cdot b$
$=x^2 + bx + ax + ab$
$=x^2 + (a + b)x + ab$