《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版福建专版》

【典型例题1】如图,已知四边形 $ABCD$,$E$ 为 $DC$ 边上一点. 求作四边形内一点 $P$,使 $EP // BC$,且点 $P$ 到 $AB$,$AD$ 的距离相等.

【解】作法：如图.

(1) 作 $\angle DAB$ 的平分线 $AM$；
(2) 以 $E$ 为顶点,$ED$ 为一边作射线 $EN$,使 $\angle DEN = \angle C$,$EN$ 交 $AM$ 于点 $P$,即为所求作点 $P$.
规律方法 用尺规作一个角的平分线,实际上是运用“SSS”构造全等三角形,根据全等三角形的对应角相等,找到平分一个角的射线.

答案： 作法：
(1) 作∠DAB的平分线AM；
(2) 以E为顶点，ED为一边作射线EN，使∠DEN=∠C，EN交AM于点P，点P即为所求。

1. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 2\angle B$. 作 $\angle ACB$ 的平分线交 $AB$ 于 $D$；作 $\angle BDC$ 的平分线 $DE$ 交 $BC$ 于点 $E$.(不写作法,保留作图痕迹)

答案： 设$\angle B = x$，则$\angle ACB = 2x$。
因为$CD$平分$\angle ACB$，所以$\angle BCD=\angle ACD = x$。
在$\triangle BCD$中，$\angle BDC = 180^{\circ}-(x + x)=180^{\circ}-2x$。
因为$DE$平分$\angle BDC$，所以$\angle BDE=\angle CDE=\frac{1}{2}\angle BDC = 90^{\circ}-x$。
在$\triangle BDE$中，$\angle BED = 180^{\circ}-(\angle B+\angle BDE)=180^{\circ}-(x + 90^{\circ}-x)=90^{\circ}$。
所以$DE\perp BC$（或$\angle BED = 90^{\circ}$）。

【典型例题2】如图,已知 $BD$ 为 $\angle ABC$ 的平分线,$AB = BC$,$PM \perp AD$ 于点 $M$,$PN \perp CD$ 于点 $N$. 求证 $PM = PN$.

【证明】$\because BD$ 为 $\angle ABC$ 的平分线,
$\therefore \angle ABD = \angle CBD$. 在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CBD$ 中,$\left\{\begin{array}{l}AB = CB,\\ \angle ABD = \angle CBD,\\ BD = BD,\end{array} \right.$ $\therefore \triangle ABD \cong \triangle CBD(SAS)$,$\therefore \angle ADB = \angle CDB$. $\because$ 点 $P$ 在 $BD$ 上,且 $PM \perp AD$,$PN \perp CD$,$\therefore PM = PN$.
规律方法 1. 应用角的平分线的性质要具备两个条件：(1) 点在角的平分线上；(2) 过这一点作角的两边的垂线段.
2. 角的平分线的性质是证明两线段相等的重要方法之一,其优点是不用再证两个三角形全等.

答案： $\because BD$为$\angle ABC$的平分线，
$\therefore \angle ABD = \angle CBD$，
在$\triangle ABD$和$\triangle CBD$中，
$\begin{cases}AB = CB, \\ \angle ABD = \angle CBD, \\ BD = BD.\end{cases}$
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle CBD (SAS)$，
$\therefore \angle ADB = \angle CDB$，
$\because PM \perp AD$，$PN \perp CD$，
又$\because$点$P$在$BD$上，
$\therefore PM = PN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。

2. (2024·四川绵阳中考)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 5$,$AD$ 平分 $\angle BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$,$DE \perp AC$,垂足为 $E$,$\triangle ABD$ 的面积为 $5$,则 $DE$ 的长为(B)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$5$

答案： B