《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版福建专版》

3. 如图,已知 $AE \perp BC$,$DF \perp BC$,垂足分别为 $E$,$F$,$AE = DF$,$AB = DC$,则 $\triangle$$ABE$$\cong \triangle$$DCF$($HL$)。

答案： $ABE$，$DCF$

4. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$PB = PQ$,$PR = PS$,$PR \perp AB$ 于 $R$,$PS \perp AC$ 于 $S$,则下列三个结论：① $AS = AR$；② $QP // AR$；③ $AB + AQ = 2AR$ 中(B)

A.全部正确
B.仅①和③正确
C.仅②和③正确
D.仅①和②正确

答案： B

5. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 12$,$BC = 6$,$P$,$Q$ 两点分别在线段 $AC$ 和 $AC$ 的垂线 $AX$ 上移动,且 $PQ = AB$,要使 $\triangle ABC$ 和 $\triangle APQ$ 全等,则 $AP$ 的长为6或12。

答案： 6或12

6. (1)如图 1,$AC$,$BD$ 相交于点 $G$,点 $A$,$E$,$F$,$C$ 在一条直线上,$AE = CF$,过点 $E$,$F$ 分别作 $DE \perp AC$,$BF \perp AC$,若 $AB = CD$,试证明 $BD$ 平分线段 $EF$。
(2)若将图 1 变为图 2,其余条件不变时,上述结论是否仍然成立？请说明理由。

答案：
(1)证明：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°（垂直定义）。
∵A、E、F、C共线，AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE。
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CD\\ AF=CE\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE（全等三角形对应边相等）。
在△DEG和△BFG中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠DEG=∠BFG=90°\\ ∠DGE=∠BGF（对顶角相等）\\ DE=BF\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△BFG（AAS），
∴EG=FG，即BD平分EF。
(2)结论仍然成立。
理由：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°。
∵A、F、E、C共线，AE=CF，
∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE。
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CD\\ AF=CE\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE。
在△DEG和△BFG中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠DEG=∠BFG=90°\\ ∠DGE=∠BGF（对顶角相等）\\ DE=BF\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△BFG（AAS），
∴EG=FG，即BD平分EF。