《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版福建专版》

【典型例题】如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ \angle BAC = 60^{\circ} $, $ \triangle ABC $ 的角平分线 $ AM $ 的长为 $ 12 \, cm $,求 $ BC $ 的长。

思路导引 本题图中有两个含 $ 30^{\circ} $ 角的直角三角形,一个等腰三角形,根据这些特征可求 $ CM $ 与 $ BM $ 的长,其和即为所求的 $ BC $ 边的长。
【解】在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle B = 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} $。
$ \because AM $ 平分 $ \angle BAC $,
$ \therefore \angle CAM = \angle BAM = 30^{\circ} $,
$ \therefore \angle B = \angle BAM $,
$ \therefore BM = AM = 12 \, cm $。
在 $ Rt \triangle ACM $ 中, $ \angle CAM = 30^{\circ} $,
$ \therefore CM = \dfrac{1}{2}AM = 6 \, cm $。
$ \therefore BC = CM + BM = 6 + 12 = 18(cm) $。
规律方法 若已知条件中出现 $ 30^{\circ} $ 或 $ 60^{\circ} $ 角,通常考虑作出垂直构造直角三角形；当出现 $ 15^{\circ} $ 角时,可以以 $ 15^{\circ} $ 角为底角作等腰三角形,与这个等腰三角形顶角相邻的外角等于 $ 30^{\circ} $ 的角,如图所示。

答案： 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle BAC=60^{\circ}$，
$\angle B=90^{\circ}-\angle BAC=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
$\because AM$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle CAM=\angle BAM=30^{\circ}$，
$\therefore \angle B=\angle BAM$，
$\therefore BM=AM=12\ cm$。
在$Rt\triangle ACM$中，$\angle CAM=30^{\circ}$，
$\therefore CM=\dfrac{1}{2}AM=6\ cm$。
$\therefore BC=CM+BM=6+12=18\ cm$。

如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle ABC = 90^{\circ} $, $ D $ 是 $ BC $ 边延长线上的一点,并且 $ CD = CA $, $ \angle ADC = 15^{\circ} $,试说明 $ AB $ 与 $ CD $ 的数量关系。

答案：
∵CD=CA，
∴△ACD是等腰三角形，∠CAD=∠ADC=15°。
在△ACD中，∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=180°-15°-15°=150°。
∵B，C，D三点共线，
∴∠ACB=180°-∠ACD=180°-150°=30°。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴AB=1/2AC（含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半）。
又
∵CD=CA，
∴AB=1/2CD，即CD=2AB。
结论：CD=2AB。