《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版福建专版》

1. 如图,某研究性学习小组为测量学校 $ A $ 与河对岸工厂 $ B $ 之间的距离,在学校附近选一点 $ C $,利用测量仪器测得 $ \angle A = 60^{\circ} $, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ AC = 2 \, km $。据此,可求得学校与工厂之间的距离 $ AB $ 等于(D)

A.$ 2 \, km $
B.$ 3 \, km $
C.$ 2\sqrt{3} \, km $
D.$ 4 \, km $

答案： D

2. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ BC ＜ AC $。点 $ D $, $ E $ 分别在边 $ AB $, $ BC $ 上,连接 $ DE $,将 $ \triangle BDE $ 沿 $ DE $ 折叠,点 $ B $ 的对应点为点 $ B' $,若点 $ B' $ 刚好落在边 $ AC $ 上, $ \angle CB'E = 30^{\circ} $, $ CE = 3 $,则 $ BC $ 的长为9。

答案： 9

3. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $,分别以 $ B $, $ C $ 为圆心,大于 $ \dfrac{1}{2}BC $ 的长为半径画弧,两弧交于点 $ D $,连接 $ BD $, $ CD $, $ AD $, $ AD $ 与 $ BC $ 交于点 $ E $。
(1)求证： $ \triangle ABD \cong \triangle ACD $；
(2)若 $ BD = 2 $, $ \angle BDC = 120^{\circ} $,求 $ DE $ 的长。

答案：
(2) $DE=1$

4. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ BC = 3 $, $ AB = 6 $,则 $ \angle B $ 为$60^{\circ}$。

答案： $60^{\circ}$

5. 如图,已知 $ \angle AOB = 60^{\circ} $,点 $ P $ 在边 $ OA $ 上, $ OP = 12 $,点 $ M $, $ N $ 在边 $ OB $ 上,且 $ PM = PN $,若 $ MN = 4 $,则 $ OM $ 的长为4。

答案： 4

6. 如图, $ \triangle ABC $ 是边长为 $ 6 \, cm $ 的等边三角形,动点 $ P $, $ Q $ 同时从 $ A $, $ B $ 两点出发,分别沿 $ AB $, $ BC $ 方向匀速移动。
(1)若点 $ P $ 的运动速度是 $ 1 \, cm/s $,点 $ Q $ 的运动速度是 $ 2 \, cm/s $,当 $ Q $ 到达点 $ C $ 时, $ P $, $ Q $ 两点都停止运动。设运动时间为 $ t \, s $,当 $ t = 2 $ 时,判断 $ \triangle BPQ $ 的形状,并说明理由。
(2)若它们的速度都是 $ 1 \, cm/s $,当点 $ P $ 到达点 $ B $ 时, $ P $, $ Q $ 两点停止运动。设点 $ P $ 的运动时间为 $ t \, s $,则当 $ t $ 为何值时, $ \triangle PBQ $ 是直角三角形？

答案：
(1) 等边三角形。理由：当$t=2$时，$AP=1×2=2\,cm$，则$BP=AB-AP=6-2=4\,cm$；$BQ=2×2=4\,cm$。$\because\triangle ABC$是等边三角形，$\therefore\angle ABC=60^\circ$。在$\triangle BPQ$中，$BP=BQ=4\,cm$，$\angle PBQ=60^\circ$，$\therefore\triangle BPQ$是等边三角形。
(2) 当$t=2$或$t=4$时，$\triangle PBQ$是直角三角形。
① 若$\angle BPQ=90^\circ$，则$\angle BQP=30^\circ$，$\therefore BP=\frac{1}{2}BQ$。$BP=6-t$，$BQ=t$，$\therefore6-t=\frac{1}{2}t$，解得$t=4$。
② 若$\angle BQP=90^\circ$，则$\angle BPQ=30^\circ$，$\therefore BQ=\frac{1}{2}BP$。$\therefore t=\frac{1}{2}(6-t)$，解得$t=2$。
综上，$t=2$或$t=4$。