《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版福建专版》

【典型例题1】计算：
(1)$(x + 1)(x - 1)$；
(2)$(-2a - 3b)(2a - 3b)$；
(3)$(m + \frac{1}{2})(m - \frac{1}{2})(m^2 + \frac{1}{4})$.
【解】(1)原式$= x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
(2)原式$= (-3b)^2 - (2a)^2 = 9b^2 - 4a^2$.
(3)原式$= [(m + \frac{1}{2})(m - \frac{1}{2})](m^2 + \frac{1}{4}) = (m^2 - \frac{1}{4})(m^2 + \frac{1}{4}) = m^4 - \frac{1}{16}$.

答案：
(1)
原式 $= (x + 1)(x - 1)$
$= x^2 - x + x - 1$
$= x^2 - 1$
(2)
原式 $= (-2a - 3b)(2a - 3b)$
$= (-3b - 2a)(-3b + 2a)$
$= (-3b)^2 - (2a)^2$
$= 9b^2 - 4a^2$
(3)
原式 $= (m + \frac{1}{2})(m - \frac{1}{2})(m^2 + \frac{1}{4})$
$= (m^2 - \frac{1}{4})(m^2 + \frac{1}{4})$
$= m^4 - \frac{1}{16}$

1. 计算：(1)$(3x - 1)(-1 - 3x)$；
(2)$(a + 2b)(a - 2b) - \frac{1}{2}b(a - 8b)$.

答案：
(1)
解：
原式 = $(3x - 1)(-1 - 3x)$
= $(-1 + 3x)(-1 - 3x)$
利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，得
= $(-1)^2 - (3x)^2$
= $1 - 9x^2$
(2)
解：
原式 = $(a + 2b)(a - 2b) - \frac{1}{2}b(a - 8b)$
首先利用平方差公式计算 $(a + 2b)(a - 2b)$，得
= $a^2 - (2b)^2$
= $a^2 - 4b^2$
接着计算 $\frac{1}{2}b(a - 8b)$，得
= $\frac{1}{2}ab - 4b^2$
最后，将两部分相减，得
= $a^2 - 4b^2 - \frac{1}{2}ab + 4b^2$
= $a^2 - \frac{1}{2}ab$

【典型例题2】运用平方差公式计算：
(1)$59.9×60.1$；(2)$20\frac{3}{5}×19\frac{2}{5}$.
思路导引 相乘的两个有理数,如果可以分别拆成较为简单的两个数的和与差时,就可以运用平方差公式简化运算过程.
【解】(1)$59.9×60.1 = (60 - 0.1)×(60 + 0.1) = 60^2 - 0.1^2 = 3600 - 0.01 = 3599.99$.
(2)$20\frac{3}{5}×19\frac{2}{5} = (20 + \frac{3}{5})×(20 - \frac{3}{5}) = 20^2 - (\frac{3}{5})^2 = 400 - \frac{9}{25} = 399\frac{16}{25}$.

答案：
(1)
$\begin{aligned}59.9 × 60.1 \\=(60 - 0.1)(60 + 0.1) \\= 60^{2} - 0.1^{2} \\= 3600 - 0.01 \\= 3599.99\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}20\frac{3}{5} × 19\frac{2}{5} \\=(20 + \frac{3}{5})(20 - \frac{3}{5}) \\= 20^{2} - (\frac{3}{5})^{2} \\= 400 - \frac{9}{25} \\= 399\frac{16}{25}\end{aligned}$

2. 运用平方差公式进行计算：
$2025^2 - 2024×2026$.

答案： $1$

1. 下列多项式的乘法中,能用平方差公式计算的是(C)
A.$(5x - 1)(5x - 1)$
B.$(x - 3)(-3 + x)$
C.$(3m + n)(-n + 3m)$
D.$(y - 2)(y + 4)$

答案： C

2. 若$(-mx - 3y)(mx - 3y) = -49x^2 + 9y^2$,则$m$的值为(C)
A.$7$
B.$-7$
C.$\pm 7$
D.以上都不对

答案： C