《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版福建专版》

【典型例题 1】如图,等边三角形 $ABC$ 的边长为 $8$,点 $E$ 是 $BC$ 边上一动点(不与点 $B$,$C$ 重合),以 $BE$ 为边在 $BC$ 的下方作等边三角形 $BDE$,连接 $AE$,$CD$。

(1) 在点 $E$ 的运动的过程中,$AE$ 与 $CD$ 有何数量关系？请说明理由。
(2) 当 $BE = 4$ 时,求 $\angle BDC$ 的度数。
【解】(1)$AE = CD$。理由如下：
因为 $\triangle ABC$ 和 $\triangle BDE$ 是等边三角形,
所以 $AB = BC$,$BE = BD$,$\angle ABC = \angle EBD = 60^{\circ}$。在 $\triangle ABE$ 与 $\triangle CBD$ 中,$\left\{\begin{array}{l}AB = CB,\\\angle ABE = \angle CBD,\\BE = BD,\end{array} \right.$ 所以 $\triangle ABE \cong \triangle CBD(SAS)$,
所以 $AE = CD$。
(2) 因为 $BE = 4$,$BC = 8$,所以 $E$ 为 $BC$ 的中点。因为等边三角形 $ABC$ 中,$AB = AC$,
所以 $AE \perp BC$,所以 $\angle AEB = 90^{\circ}$。
由(1)知 $\triangle ABE \cong \triangle CBD$,
所以 $\angle BDC = \angle AEB = 90^{\circ}$。

答案：
(1) $AE = CD$。
因为 $\triangle ABC$ 和 $\triangle BDE$ 是等边三角形，
所以 $AB = BC$，$BE = BD$，$\angle ABC = \angle EBD = 60^{\circ}$。
因为$\angle ABE = \angle ABC - \angle EBC$，$\angle CBD = \angle EBD - \angle EBC$，
所以 $\angle ABE = \angle CBD$。
在 $\triangle ABE$ 与 $\triangle CBD$ 中，
$\begin{cases}AB = CB, \\\angle ABE = \angle CBD, \\BE = BD.\end{cases}$
所以 $\triangle ABE \cong \triangle CBD(SAS)$，
所以 $AE = CD$。
(2) 因为 $BE = 4$，$BC = 8$，
所以 $BE=\frac{1}{2}BC$，即 $E$ 为 $BC$ 的中点。
在等边 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，
所以 $AE \perp BC$，
所以 $\angle AEB = 90^{\circ}$。
由
(1)知 $\triangle ABE \cong \triangle CBD$，
所以 $\angle BDC = \angle AEB = 90^{\circ}$。

1. 如图,$\triangle ABC$,$\triangle CDE$ 均为等边三角形,连接 $AD$,$BE$ 交于点 $O$,$AC$ 与 $BE$ 交于点 $P$。求证 $\angle AOB = 60^{\circ}$。

答案：
∵△ABC,△CDE均为等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
$\left\{\begin{array}{l} AC=BC\\ ∠ACD=∠BCE\\ CD=CE\end{array}\right.$,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠CAD=∠CBE,设∠CAD=∠CBE=α,
在△ABP中,∠ABP=∠ABC - ∠CBE=60° - α,∠BAP=60°,
∴∠APB=180° - ∠ABP - ∠BAP=180° - (60° - α) - 60°=60° + α,
∵∠APB是△APO的外角,
∴∠APB=∠PAO + ∠AOP,即60° + α=α + ∠AOP,
∴∠AOP=60°,
∵∠AOP=∠AOB,
∴∠AOB=60°.

重难点二 等边三角形的判定
【典型例题 2】如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AB // DC$,$DB$ 平分 $\angle ADC$,$\angle A = 60^{\circ}$,求证：$\triangle ABD$ 是等边三角形。

【证明】$\because DB$ 平分 $\angle ADC$,
$\therefore \angle ADB = \angle CDB$。
$\because AB // DC$,$\therefore \angle ABD = \angle CDB$,
$\therefore \angle ABD = \angle ADB$,
$\therefore AB = AD$,即 $\triangle ABD$ 是等腰三角形。
又 $\angle A = 60^{\circ}$,$\therefore \triangle ABD$ 是等边三角形。

答案： 证明：
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB。
∵AB//DC，
∴∠ABD=∠CDB（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD（等角对等边），即△ABD是等腰三角形。
又
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。