《2025年名校课堂九年级数学上册湘教版湖南专版》

12. (2024·衡阳衡南县期中)已知在 $ \triangle ABC $ 中， $ \sin B = \cos (90^{\circ} - \angle C) = \frac{1}{2} $，那么 $ \triangle ABC $ 是(A)

A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形

答案： A

13. 新考向 新定义问题 定义：一个三角形的一边长是另一边长的 $ 2 $ 倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”. 若等腰三角形 $ ABC $ 是“倍长三角形”，则底角的余弦值为(A)

A.$ \frac{1}{4} $
B.$ \frac{\sqrt{15}}{4} $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $

答案： A

14. 在正方形网格中， $ \triangle ABC $ 的位置如图所示，则 $ \cos A $ 的值为3√10/10.

答案： 3√10/10

15. 计算： $ 2 \cos 45^{\circ} + (\pi - 3.14)^{0} + | 1 - \sqrt{2} | + (\frac{1}{2})^{-1} $.

答案： 解:原式=2×√2/2+1+√2-1+2=2√2+2.

16. 如图，在 $ Rt\triangle ABC $ 中， $ \angle C = 90^{\circ} $， $ M $ 是直角边 $ AC $ 上一点， $ MN \perp AB $ 于点 $ N $， $ AN = 3 $， $ AM = 4 $，求 $ \cos B $ 的值.

答案： 解:
∵∠C=90°,MN⊥AB,
∴∠C=∠ANM=90°.又
∵∠A=∠A,
∴△AMN∽△ABC.
∴AC/AB=AN/AM=3/4.设AC=3x,AB=4x,由勾股定理,得BC=√(AB²-AC²)=√7x,在Rt△ABC中,cosB=BC/AB=√7x/4x=√7/4.

17. 新考向 阅读理解 【数学猜想】
(1)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
$ \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} $， $ \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} $，则 $ \sin^{2} 30^{\circ} + \cos^{2} 30^{\circ} = $1； ①
$ \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} $， $ \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} $，则 $ \sin^{2} 45^{\circ} + \cos^{2} 45^{\circ} = $1； ②
$ \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} $， $ \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} $，则 $ \sin^{2} 60^{\circ} + \cos^{2} 60^{\circ} = $1； ③
……
观察上述等式，猜想：对任意锐角 $ A $，都有 $ \sin^{2} A + \cos^{2} A = $1；
【猜想论证】
(2)如图，在锐角三角形 $ ABC $ 中，利用三角函数的定义及勾股定理对 $ \angle A $ 证明你的猜想；
【迁移应用】
(3)已知 $ \angle A $ 为锐角 $ (\cos A ＞ 0) $ 且 $ \sin A = \frac{3}{5} $，求 $ \cos A $.

答案： 解:
(1)1 1 1 1
(2)证明:过点B作BD⊥AC于点D,则∠ADB=90°.
∵sinA=BD/AB,cosA=AD/AB,
∴sin²A+cos²A=(BD/AB)²+(AD/AB)²=(BD²+AD²)/AB².
∵∠ADB=90°,
∴BD²+AD²=AB².
∴sin²A+cos²A=1.
(3)
∵sinA=3/5,sin²A+cos²A=1,∠A为锐角,
∴cosA=√(1-(3/5)²)=4/5.