《2025年名校课堂九年级数学上册湘教版湖南专版》

9. 点$M(-\sin60^{\circ},\sin30^{\circ})$关于$x$轴对称的点的坐标是(B)

A.$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$
B.$(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$
C.$(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$
D.$(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$

答案： 9.B

10. 已知$\alpha$为锐角，且$\sin(\alpha - 10^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\alpha$等于(C)

A.$50^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$80^{\circ}$

答案： 10.C

11. 菱形$OABC$在平面直角坐标系中的位置如图所示，$\angle AOC = 45^{\circ}$，$OC=\sqrt{2}$，则点$B$的坐标为(C)


A.$(\sqrt{2},1)$
B.$(1,\sqrt{2})$
C.$(\sqrt{2}+1,1)$
D.$(1,\sqrt{2}+1)$

答案： 11.C

12. 已知$\angle A$为锐角，下列结论：
①$\sin A＞0$；
②若$\angle A＞45^{\circ}$，则$\frac{\sqrt{2}}{2}＜\sin A＜1$；
③$\sqrt{(1 - \sin A)^{2}} = 1 - \sin A$。
其中正确的有(D)

A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个

答案： 12.D

13. 计算：
(1)$\vert1 - \sqrt{3}\vert - 2\sin60^{\circ}+(-2)^{2}-(2024 - \sqrt{2025})^{0}$；
(2)$\vert-\sqrt{2}\vert+(-2025)^{0}-2\sin45^{\circ}-(\frac{1}{2})^{-1}$。

答案： 13.解:
(1)原式$=\sqrt{3}-1-2×\frac{\sqrt{3}}{2}+4-1=2$.
(2)原式$=\sqrt{2}+1-2×\frac{\sqrt{2}}{2}-2=\sqrt{2}+1-\sqrt{2}-2=-1$.

14. 已知$\angle A$，$\angle B$是$\triangle ABC$中的两个锐角，且$(\sin A - \frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+\vert\sin B - \frac{\sqrt{2}}{2}\vert = 0$，求$\angle C$的度数。

答案： 14.解:由题意,得$\begin{cases} \sin A-\frac{\sqrt{3}}{2}=0, \\ \sin B-\frac{\sqrt{2}}{2}=0, \end{cases}$$\therefore\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$.$\because\angle A$,$\angle B$为$\triangle ABC$的两个锐角,$\therefore\angle A=60^{\circ}$,$\angle B=45^{\circ}$.$\therefore\angle C=180^{\circ}-\angle A-\angle B=75^{\circ}$.

15. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，点$D$在$AC$上，已知$\angle BDC = 45^{\circ}$，$BD = 10\sqrt{2}$，$AB = 20$，求$\angle A$的度数。

答案： 15.解:在$Rt\triangle BDC$中,$BC=BD\cdot\sin\angle BDC=10\sqrt{2}×\sin45^{\circ}=10$.在$Rt\triangle ABC$中,$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$,$\therefore\angle A=30^{\circ}$.

16. 如图，$A$，$B$，$C$都是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么$\angle BAC$的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

答案： 16.$\frac{\sqrt{2}}{2}$