《2025年名校课堂九年级数学上册湘教版湖南专版》

【例】 新考向 阅读理解 阅读理解:用“十字相乘法”分解因式 $2x^{2}-x - 3$ 的方法如下.
(1)二次项系数 $2 = 1×2$.
(2)常数项 $-3 = -1×3 = 1×(-3)$,验算“交叉相乘之和”:

① $1×3 + 2×(-1) = 1$;② $1×(-1) + 2×3 = 5$;
③ $1×(-3) + 2×1 = -1$;④ $1×1 + 2×(-3) = -5$.
(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果 $1×(-3) + 2×1 = -1$,等于一次项系数 $-1$.
故 $(x + 1)(2x - 3) = 2x^{2}-3x + 2x - 3 = 2x^{2}-x - 3$,则 $2x^{2}-x - 3 = (x + 1)(2x - 3)$.
像这样通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫作十字相乘法.
(4)根据乘法原理:若 $ab = 0$,则 $a = 0$ 或 $b = 0$.
仿照以上方法,解方程:
① $x^{2}-3x + 2 = 0$;
② $3x^{2}+5x - 12 = 0$.

答案： 1. 解方程$x^{2}-3x + 2 = 0$：
对于$x^{2}-3x + 2$，二次项系数$1 = 1×1$，常数项$2 = (-1)×(-2)=1×2$。
验算“交叉相乘之和”：
$1×(-2)+1×(-1)=-3$（这里$1×(-2)+1×(-1)$，因为$x^{2}-3x + 2$中一次项系数是$-3$）。
所以$x^{2}-3x + 2=(x - 1)(x - 2)$。
则原方程$(x - 1)(x - 2)=0$。
根据$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$，可得$x-1 = 0$或$x - 2 = 0$。
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
2. 解方程$3x^{2}+5x - 12 = 0$：
对于$3x^{2}+5x - 12$，二次项系数$3 = 1×3$，常数项$-12=(-1)×12 = 1×(-12)=(-2)×6 = 2×(-6)=3×(-4)=(-3)×4$。
验算“交叉相乘之和”：$1×(-4)+3×3=5$（因为$3x^{2}+5x - 12$中一次项系数是$5$）。
所以$3x^{2}+5x - 12=(x + 3)(3x - 4)$。
则原方程$(x + 3)(3x - 4)=0$。
根据$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$，可得$x + 3 = 0$或$3x - 4 = 0$。
当$x + 3 = 0$时，$x=-3$；当$3x - 4 = 0$时，$3x=4$，解得$x=\frac{4}{3}$。
综上，方程$x^{2}-3x + 2 = 0$的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=2$；方程$3x^{2}+5x - 12 = 0$的解为$x_{1}=-3$，$x_{2}=\frac{4}{3}$。

1. 用十字相乘法解方程:
(1) $x^{2}+10x + 16 = 0$;
(2) $2x^{2}+x - 6 = 0$;
(3) $3x^{2}-8x - 3 = 0$.

答案： 1.解:
(1)$(x+8)(x+2)=0$,$x+8=0$或$x+2=0$,$\therefore$$x_{1}=-8$,$x_{2}=-2$.
(2)$(2x-3)(x+2)=0$,$2x-3=0$或$x+2=0$,$\therefore$$x_{1}=\frac{3}{2}$,$x_{2}=-2$.
(3)$(3x+1)(x-3)=0$,$3x+1=0$或$x-3=0$,$\therefore$$x_{1}=-\frac{1}{3}$,$x_{2}=3$.

2. 试利用十字相乘法,求出关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(2a + 1)x + a^{2}+a = 0$ 的解.

答案： 2.解:$[x-(a+1)](x-a)=0$,$x-(a+1)=0$或$x-a=0$,$\therefore$$x_{1}=a+1$,$x_{2}=a$.

3. 新考向 新定义问题 如果一元二次方程的两根相差 $1$,那么称该方程为“差 $1$ 方程”.例如:$x^{2}+x = 0$ 是“差 $1$ 方程”.
(1)判断方程 $x^{2}-7x + 12 = 0$ 是否为“差 $1$ 方程”;
(2)已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+(2 - m)x - 2m = 0$ ($m$ 是常数)是“差 $1$ 方程”,求 $m$ 的值.

答案： 3.解:
(1)$x^{2}-7x+12=0$,$(x-3)(x-4)=0$,解得$x_{1}=3$,$x_{2}=4$.$\because$$4-3=1$,$\therefore$$x^{2}-7x+12=0$是"差1方程".
(2)$x^{2}+(2-m)x-2m=0$,$(x-m)(x+2)=0$,$\therefore$$x_{1}=m$,$x_{2}=-2$.$\because$方程$x^{2}+(2-m)x-2m=0$($m$是常数)是"差1方程",$\therefore$$m-(-2)=1$或$-2-m=1$.$\therefore$$m=-1$或$m=-3$.