《2025年名校课堂九年级数学上册湘教版湖南专版》

1. 如果一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 能用公式法求解，那么必须满足的条件是(A)

A.$b^{2}-4ac\geqslant0$
B.$b^{2}-4ac\leqslant0$
C.$b^{2}-4ac＞0$
D.$b^{2}-4ac＜0$

答案： 1. A

2. 用公式法解方程 $-x^{2}+3x = 1$ 时，先要确定 $a,b,c$ 的值，则 $a,b,c$ 依次为(A)

A.$-1,3,-1$
B.$1,-3,-1$
C.$-1,-3,-1$
D.$-1,3,1$

答案： 2. A

3. 用公式法解方程 $3x^{2}+4 = 12x$，下列代入公式正确的是(D)

A.$x=\frac{12\pm\sqrt{12^{2}-3×4}}{2}$
B.$x=\frac{-12\pm\sqrt{12^{2}×3×4}}{2×3}$
C.$x=\frac{12\pm\sqrt{12^{2}+3×4}}{2}$
D.$x=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^{2}-4×3×4}}{2×3}$

答案： 3. D

4. 用公式法解方程 $2x^{2}+x - 2 = 0$，先求得 $b^{2}-4ac=$17，其解为$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{17}}{4},x_{2}=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$。

答案： 4. 17 $x_{1}=\frac{-1+\sqrt{17}}{4},x_{2}=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$

5. 用公式法解下列方程：
(1) $x^{2}-2x - 7 = 0$；
(2) $2x^{2}+5x - 3 = 0$；
(3) $x^{2}+25 = -10x$。

答案： 5. 解：
(1)这里$a=1,b=-2,c=-7$.因而$b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-7)=32＞0$.所以$x=\frac{2\pm4\sqrt{2}}{2}=1\pm2\sqrt{2}$.因此，原方程的根为$x_{1}=1+2\sqrt{2},x_{2}=1-2\sqrt{2}$.
(2)这里$a=2,b=5,c=-3$,因而$b^{2}-4ac=5^{2}-4×2×(-3)=49＞0$.所以$x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2×2}=\frac{-5\pm7}{4}$.因此，原方程的根为$x_{1}=-3,x_{2}=\frac{1}{2}$.
(3)移项，得$x^{2}+10x+25=0$.这里$a=1,b=10,c=25$.因而$b^{2}-4ac=10^{2}-4×1×25=0$,所以$x=\frac{-10\pm\sqrt{0}}{2}=-5$.因此，原方程的根为$x_{1}=x_{2}=-5$.

6. 若代数式 $3x^{2}+1$ 的值与 $x + 3$ 的值相等，求 $x$ 的值。

答案： 6. 解：由题意，得$3x^{2}+1=x+3$,整理，得$3x^{2}-x-2=0$.这里$a=3,b=-1,c=-2$,因而$b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×3×(-2)=25＞0$.所以$x=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2×3}=\frac{1\pm5}{6}$.因此，原方程的根为$x_{1}=-\frac{2}{3},x_{2}=1$.故$x$的值为$-\frac{2}{3}$或1.

7. 新考向 过程性学习(2024·邵阳新邵县期中)小明在解方程 $x^{2}-5x = 1$ 时出现了错误，解答过程如下：
$\because a = 1,b = -5,c = 1$，(第一步)
$\therefore b^{2}-4ac = (-5)^{2}-4×1×1 = 21$。(第二步)
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$。(第三步)
$\therefore x_{1}=\frac{5+\sqrt{21}}{2},x_{2}=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$。(第四步)
(1) 小明的解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是方程未化成一般形式导致系数出错；
(2) 写出此题正确的解答过程。

答案： 7. 解：
(1)一 方程未化成一般形式导致系数出错
(2)移项，得$x^{2}-5x-1=0$.$\because a=1,b=-5,c=-1,\therefore b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×(-1)=29＞0$.$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$.$\therefore x_{1}=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_{2}=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$.