《2025年名校课堂九年级数学上册湘教版湖南专版》

【母题】(2023·岳阳临湘六中月考)如图，一次函数 $ y = k_1x + b(k_1 \neq 0) $ 与反比例函数 $ y = \frac{k_2}{x}(k_2 \neq 0) $ 的图象交于点 $ A(2,3) $，$ B(n,-1) $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求 $ \triangle AOB $ 的面积；
(3)直接写出不等式 $ k_1x + b \geq \frac{k_2}{x} $ 的解集.

【变式设问 1】如图，$ MN \perp x $ 轴于点 $ E $，分别交上述一次函数与反比例函数的图象于点 $ M $，$ N $.当 $ OE = 1 $ 时，求线段 $ MN $ 的长.

【变式设问 2】过点 $ A $ 作 $ AD \perp x $ 轴于点 $ D $，若点 $ P $ 在双曲线 $ y = \frac{k_2}{x}(k_2 \neq 0) $ 上，且 $ \triangle PAD $ 的面积为 $ 6 $，求点 $ P $ 的坐标.
【变式设问 3】如图，点 $ A $ 关于原点 $ O $ 的对称点为 $ A' $，在 $ x $ 轴上找一点 $ P $，使 $ PA' + PB $ 最小，求出点 $ P $ 的坐标.

【变式设问 4】在 $ y $ 轴上是否存在点 $ Q $，使得 $ \triangle AOQ $ 为等腰三角形？若存在，求出点 $ Q $ 的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 解:
(1)将A(2,3)代入$y=\frac{k_{2}}{x}$,得$3=\frac{k_{2}}{2}$,解得$k_{2}=6$.$\therefore y=\frac{6}{x}$.把B(n,-1)代入$y=\frac{6}{x}$,得$-1=\frac{6}{n}$,解得n=-6.$\therefore$点B的坐标为(-6,-1).把A(2,3),B(-6,-1)代入$y=k_{1}x+b$,得$\left\{\begin{array}{l} 3=2k_{1}+b,\\ -1=-6k_{1}+b,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k_{1}=\frac{1}{2},\\ b=2,\end{array}\right. $$\therefore y=\frac{1}{2}x+2$.
(2)把x=0代入$y=\frac{1}{2}x+2$,得y=2,$\therefore$C(0,2).$\therefore S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}|y_{C}|\cdot|x_{A}|+\frac{1}{2}|y_{C}|\cdot|x_{B}|=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×6=8$.
(3)$x\geq2$或$-6\leq x＜0$.
@@解:$\because MN\perp x$轴,$\therefore MN// y$轴.$\because OE=1$,$\therefore$点M,N的横坐标为-1.$\therefore M(-1,\frac{3}{2})$,$N(-1,-6)$.$\therefore MN=\frac{3}{2}+6=\frac{15}{2}$.
@@解:设点P的坐标为$(a,\frac{6}{a})$.$\because A(2,3)$,$\therefore D(2,0)$.$\because\triangle PAD$的面积为6.$\therefore \frac{1}{2}AD\cdot|2-a|=6$.即$\frac{1}{2}×3\cdot|2-a|=6$,解得a=-2或a=6.$\therefore P(-2,-3)$或(6,1).
@@解:作点B关于x轴的对称点$B'$,连接$A'B'$交x轴于点P.$\because$点A(2,3),点A与点$A'$关于原点O对称,$\therefore$点$A'$的坐标为(-2,-3).又$\because$点B(-6,-1),点B和点$B'$关于x轴对称,$\therefore$点$B'$的坐标为(-6,1).设直线$A'B'$的表达式为$y=kx+b$,将点$A'(-2,-3)$,$B'(-6,1)$代入$y=kx+b$,得$\left\{\begin{array}{l} -2k+b=-3,\\ -6k+b=1,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-1,\\ b=-5.\end{array}\right. $$\therefore$直线$A'B'$的表达式为$y=-x-5$.对于$y=-x-5$,当y=0时,x=-5,$\therefore$点P的坐标为(-5,0).
@@解:$\because A(2,3)$,$\therefore OA=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$.①当$OA=OQ$时,$OQ=\sqrt{13}$,$\therefore$点Q的坐标为$(0,\sqrt{13})$或$(0,-\sqrt{13})$;②当$AQ=AO$时,点A在OQ的垂直平分线上,$\because$点A的坐标为(2,3),$\therefore$点Q的坐标为(0,6);③当$QO=QA$时,点Q在OA的垂直平分线上,过点A作$AF\perp y$轴于点F.令$QO=m$,则$QA=m$,$FQ=3-m$.在$Rt\triangle AFQ$中,$AF^{2}+FQ^{2}=QA^{2}$,即$2^{2}+(3-m)^{2}=m^{2}$,解得$m=\frac{13}{6}$.所以点Q的坐标为$(0,\frac{13}{6})$.综上所述,点Q的坐标为$(0,\sqrt{13})$或$(0,-\sqrt{13})$或(0,6)或$(0,\frac{13}{6})$.