《2025年名校课堂九年级数学上册湘教版湖南专版》

10. (2024·连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为 1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(D)

A.甲和乙
B.乙和丁
C.甲和丙
D.甲和丁

答案： D

11. 图 2 中的矩形边长分别是由图 1 中的矩形边长 4 拉长 2x，边长 5 拉长 x 得到的，若两个矩形相似(不全等)，则 x 的值是(A)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： A

12. 新考向 真实情境 书籍开本指书刊幅面的规格大小.如图，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到 2 开纸，再对折得到 4 开纸，以此类推，可以得到 8 开纸、16 开纸……这些开本都是相似图形，我们所用的数学课本是 16 开本，有些图书是 32 开本，16 开的纸和 32 开的纸的相似比是$\sqrt{2}:1$.

答案： $\sqrt{2}:1$

13. 已知长 AB = 30，宽 BC = 20 的矩形黑板 ABCD.
(1)如图 1，若矩形黑板 ABCD 四周有宽为 1 的边框区域，图中所形成的两个矩形 ABCD 与 A′B′C′D′相似吗？请说明理由；
(2)如图 2，当 x 为多少时，图中的矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′相似？

答案：
(1)不相似,理由如下:AB=30,A'B'=28,BC=20,B'C'=18,而$\frac{28}{30}≠\frac{18}{20}$,$\frac{28}{20}≠\frac{18}{30}$,故矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似.
(2)若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似,则$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$或$\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB}$,即$\frac{30-2x}{30}=\frac{20-2}{20}$或$\frac{30-2x}{20}=\frac{20-2}{30}$,解得x=1.5或9.故当x=1.5或9时,矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似.

14. 如图 E 是菱形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段 AE 为边作一个菱形 AEFG，且菱形 AEFG∽菱形 ABCD，相似比是$\sqrt{3}:2$，连接 EB，GD.
(1)求证：EB = GD；
(2)若∠DAB = 60°，AB = 2，求 GD 的长.

答案：
(1)证明:
∵菱形AEFG∽菱形ABCD,
∴AE=AG,AB=AD,∠EAG=∠BAD.
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB,即∠EAB=∠GAD.
∴△AEB≌△AGD(SAS).
∴EB=GD.
(2)连接BD,交AC于点P,则BP⊥AC.
∵∠DAB=60°,
∴∠PAB=30°.
∵菱形AEFG∽菱形ABCD,相似比是$\sqrt{3}:2$,AB=2,
∴AE=$\sqrt{3}$,BP=$\frac{1}{2}$AB=1.
∴AP=$\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{3}$.
∴EP=2$\sqrt{3}$.
∴EB=$\sqrt{EP^2+BP^2}=\sqrt{13}$.
∴GD=$\sqrt{13}$.