《2025年名校课堂九年级数学上册湘教版湖南专版》

1. (2024·甘孜州)如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，已知 $ A(2,3) $，$ B(m,-2) $ 两点在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上.
(1)求 $ k $ 与 $ m $ 的值；
(2)连接 $ BO $，并延长交反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象于点 $ C $.若一次函数的图象经过 $ A $，$ C $ 两点，求这个一次函数的表达式.

答案： 解:
(1)$\because A(2,3)$,$B(m,-2)$两点在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,$\therefore k=2×3=m×(-2)$.$\therefore k=6$,$m=-3$.
(2)由
(1)可知点B(-3,-2),根据反比例函数图象的中心对称性质可得点C(3,2).设直线AC的表达式为$y=kx+b$,则$\left\{\begin{array}{l} 2k+b=3,\\ 3k+b=2,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-1,\\ b=5.\end{array}\right. $$\therefore$直线AC的表达式为$y=-x+5$.

2. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $ y = -\frac{1}{3}x $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象交于 $ A $，$ B $ 两点，已知点 $ A $ 的纵坐标是 $ 2 $.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将直线 $ y = -\frac{1}{3}x $ 向上平移后与 $ y $ 轴交于点 $ C $，与双曲线在第二象限内的部分交于点 $ D $，如果 $ \triangle ABD $ 的面积为 $ 36 $，求平移后的直线表达式.

答案： 解:
(1)在一次函数$y=-\frac{1}{3}x$中,令y=2,则$2=-\frac{1}{3}x$,解得x=-6,即点A的坐标为(-6,2).$\because$点A(-6,2)在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,$\therefore k=-6×2=-12$.$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\frac{12}{x}$.
(2)连接AC,BC.设平移后的表达式为$y=-\frac{1}{3}x+b$.$\because CD// AB$,$\therefore S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ABC}$.$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}OC\cdot(x_{B}-x_{A})=36$.$\because$直线$y=-\frac{1}{3}x$与反比例函数$y=-\frac{12}{x}$交于点A,B,$\therefore$点A与点B关于原点对称.$\therefore B(6,-2)$.$\therefore \frac{1}{2}b×12=36$.$\therefore b=6$.$\therefore$平移后的直线的函数表达式为$y=-\frac{1}{3}x+6$.

3. (2024·宜宾)如图，一次函数 $ y = ax + b(a \neq 0) $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象交于点 $ A(1,4) $，$ B(n,-1) $.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式 $ ax + b ＜ \frac{k}{x} $ 的解集；
(3)已知点 $ D $ 在 $ x $ 轴上，点 $ C $ 在反比例函数图象上.若以 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 为顶点的四边形是平行四边形，求点 $ C $ 的坐标.

答案： 解:
(1)将点A,B的坐标代入反比例函数表达式,得$k=4×1=-n$,解得k=4,n=-4.$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$,$B(-4,-1)$.将点A,B的坐标代入一次函数表达式,得$\left\{\begin{array}{l} 4=a+b,\\ -1=-4a+b,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=3.\end{array}\right. $$\therefore$一次函数的表达式为$y=x+3$.
(2)不等式$ax+b＜\frac{k}{x}$的解集为$0＜x＜1$或$x＜-4$.
(3)设点C的坐标为$(m,\frac{4}{m})$,点D的坐标为(x,0).①当AB为对角线时,由中点坐标公式,得$4-1=\frac{4}{m}$,解得$m=\frac{4}{3}$.$\therefore C(\frac{4}{3},3)$.②当AC或AD为对角线时,同理可得$4+\frac{4}{m}=-1$或$4=\frac{4}{m}-1$,解得$m=\pm\frac{4}{5}$.$\therefore C(-\frac{4}{5},-5)$或$(\frac{4}{5},5)$.综上所述,点C的坐标为$(\frac{4}{3},3)$或$(-\frac{4}{5},-5)$或$(\frac{4}{5},5)$.