《2025年名校课堂九年级数学上册湘教版湖南专版》

1. (2024·重庆 B 卷)若两个相似三角形的相似比为 $1:4$，则这两个三角形的面积之比是(D)

A.$1:2$
B.$1:4$
C.$1:8$
D.$1:16$

答案： D

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$DE// BC$，$DE = 2$，$BC = 5$，则$S_{\triangle ADE}:S_{\triangle ABC}$的值是(B)

A.$\frac{3}{25}$
B.$\frac{4}{25}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{3}{5}$

答案： B

3. (2024·邵阳洞口县期中)已知$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$，$AB = 12\mathrm{cm}$，$DE = 8\mathrm{cm}$，$\triangle ABC$的面积为$81\mathrm{cm}^2$，则$\triangle DEF$的面积为36$\mathrm{cm}^2$.

答案： 36

4. 如图，点$D$，$E$分别在$\triangle ABC$的边$AC$，$AB$上，$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$，$M$，$N$分别是$DE$，$BC$的中点.若$\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$，则$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=$$\frac{1}{4}$.

答案： $\frac{1}{4}$

5. 如图，四边形$ABCD$为平行四边形，$E$，$F$为$CD$边的两个三等分点，连接$AF$，$BE$交于点$G$，则$S_{\triangle EFG}:S_{\triangle ABG}=$$\frac{1}{9}$.

答案： $\frac{1}{9}$

6. (2023·岳阳汨罗市期中)如图，在$\triangle ABC$和$\triangle DEC$中，$\angle A=\angle D$，$\angle BCE=\angle ACD$.
(1)求证：$\triangle ABC\backsim\triangle DEC$；
(2)若$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle DEC}=4:9$，$BC = 6$，求$EC$的长.

答案：
(1)证明：$\because \angle BCE=\angle ACD$，$\therefore \angle BCE+\angle ACE=\angle ACD+\angle ACE$，即$\angle ACB=\angle DCE$．又$\because \angle A=\angle D$，$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle DEC$．
(2)$\because \triangle ABC\backsim \triangle DEC$，$\therefore \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEC}}=\left(\frac{BC}{EC}\right)^2=\frac{4}{9}$．$\therefore \frac{BC}{EC}=\frac{2}{3}$，即$\frac{6}{EC}=\frac{2}{3}$．$\therefore EC=9$．

7. 已知$\triangle FHB\backsim\triangle EAD$，它们的周长分别为$30$和$15$，且$FH = 6$，则$EA$的长为(A)

A.$3$
B.$2$
C.$4$
D.$5$

答案： A

8. 若$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$，且$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle DEF}=3:4$，则$\triangle ABC$与$\triangle DEF$的周长比为(C)

A.$3:4$
B.$4:3$
C.$\sqrt{3}:2$
D.$2:\sqrt{3}$

答案： C

9. (2024·云南)如图，$AB$与$CD$相交于点$O$，且$AC// BD$.若$\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD}=\frac{1}{2}$，则$\frac{AC}{BD}=$$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$

10. 如图，在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$.
(1)在$AB$上求作一点$D$，使$\triangle ABC\backsim\triangle CBD$（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在(1)的条件下，求$\triangle ACD$的周长.

答案：
(1)图略．
(2)$\because \angle ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$．$\therefore \triangle ABC$的周长为$3+4+5=12$．$\because \angle A=\angle A$，$\angle ACB=\angle ADC=90°$，$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle ACD$．$\therefore \frac{\triangle ABC的周长}{\triangle ACD的周长}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{3}$．$\therefore \triangle ACD$的周长为$\frac{3}{5}× 12=\frac{36}{5}$．