《2025年名校课堂九年级数学上册湘教版湖南专版》

10. (教材 P12 习题 T3 变式)已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象如图所示：
(1) $ k $ 的值是 -2；
(2) 你认为点 $ B(-2,4) $ 在这个函数的图象上吗？答：不在；
(3) 在第二象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而 增大(填“增大”或“减少”).

答案：
(1)-2
(2)不在
(3)增大

11. 已知反比例函数 $ y = \frac{6}{x}(x ＞ 0) $ 的图象如图，则它关于 $ y $ 轴对称的图象的函数表达式为 (D)

A.$ y = \frac{3}{x}(x ＞ 0) $
B.$ y = \frac{3}{x}(x ＜ 0) $
C.$ y = -\frac{6}{x}(x ＞ 0) $
D.$ y = -\frac{6}{x}(x ＜ 0) $

答案： D

12. 如图，这是三个反比例函数 $ y_1 = \frac{k_1}{x} $，$ y_2 = \frac{k_2}{x} $，$ y_3 = \frac{k_3}{x} $ 在 $ x $ 轴上方的图象，由此得到 (C)

A.$ k_1 ＞ k_2 ＞ k_3 $
B.$ k_2 ＞ k_1 ＞ k_3 $
C.$ k_3 ＞ k_2 ＞ k_1 $
D.$ k_3 ＞ k_1 ＞ k_2 $

答案： C

13. 已知反比例函数 $ y = -\frac{8}{x} $，当自变量 $ x \geq 2 $ 时，函数值 $ y $ 的取值范围是 -4 \leqslant y＜0.

答案： $-4 \leqslant y＜0$

14. 新考向 新定义问题 如图，$ P $ 是 $ y $ 轴正半轴上的一个动点，过点 $ P $ 作 $ y $ 轴的垂线 $ l $，与反比例函数 $ y = -\frac{4}{x} $ 的图象交于点 $ A $. 把直线 $ l $ 上方的反比例函数图象沿着直线 $ l $ 翻折，其他部分保持不变，所形成的新图象称为“$ y = -\frac{4}{x} $ 的 $ l $ 镜像”. 当 $ OP = 3 $ 时，回答下列问题：
(1) 点 $ M(-\frac{1}{2},-2) $ 在“$ y = -\frac{4}{x} $ 的 $ l $ 镜像”上；(填“在”或“不在”)
(2) 求出“$ y = -\frac{4}{x} $ 的 $ l $ 镜像”与 $ x $ 轴的交点坐标.

答案： 解:
(1)在
(2)$\because$"$y=-\dfrac{4}{x}$的$l$镜像"与$x$轴交点的纵坐标为0,$\therefore$关于直线$l:y=3$对称的点在反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$上的纵坐标为6.当$y=6$时,$6=-\dfrac{4}{x}$,解得$x=-\dfrac{2}{3}$.$\therefore$"$y=-\dfrac{4}{x}$的$l$镜像"与$x$轴的交点坐标是$\left(-\dfrac{2}{3},0\right)$.

15. 新考向 代数推理 已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象经过点 $ A(-3,4) $.
(1) 请判断点 $ B(6,2) $ 是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；
(2) 已知点 $ C(x_1,y_1) $ 和点 $ D(x_2,y_2) $ 是反比例函数图象上的两点，$ x_2 = x_1 + 3 $.
① 若 $ y_1 ＞ y_2 $，求 $ x_1 $ 的取值范围；
② 若 $ y_1 = 2y_2 $，求当 $ x ＜ x_1 + x_2 $ 时，$ y $ 的取值范围.

答案： 解:
(1)不在.理由:将点$A(-3,4)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$,得$k=-3×4=-12$,$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{-12}{x}$.当$x=6$时,$y=-2\neq2$,$\therefore$点$B(6,2)$不在此反比例函数的图象上.
(2)①$\because k=-12＜0$,$\therefore$反比例函数$y=\dfrac{-12}{x}$的图象在第二、四象限.$\because y_{1}＞y_{2}$,$x_{2}=x_{1}+3＞x_{1}$,$\therefore$点$C(x_{1},y_{1})$在第二象限,点$D(x_{2},y_{2})$在第四象限.$\therefore \begin{cases} x_{1}＜0, \\x_{1}+3＞0 \end{cases}$解得$-3＜x_{1}＜0$.②$\because y_{1}=2y_{2}$,$\therefore x_{2}=2x_{1}$.$\because x_{2}=x_{1}+3$,$\therefore 2x_{1}=x_{1}+3$.$\therefore x_{1}=3$,$x_{2}=6$.$\therefore x_{1}+x_{2}=9$.当$x=9$时,$y=-\dfrac{4}{3}$,$\therefore$当$x＜x_{1}+x_{2}$时,$y$的取值范围是$y＜-\dfrac{4}{3}$或$y＞0$.