《2025年名校课堂九年级数学上册湘教版湖南专版》

9. 如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m²，求道路的宽.如果设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是(C)

A.(20+x)(32−x)=540
B.(20−x)(32−x)=100
C.(20−x)(32−x)=540
D.(20+x)(32−x)=540

答案： C

10. 如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60m，宽为40m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a m.
(1)当通道宽a为10m时，花圃的面积为$800\ m^{2}$；
(2)通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3:5?如果可以，试求出此时通道的宽.

答案：
(1)$800\ m^{2}$
(2)根据题意,得$(40-2a)(60-2a)=\dfrac{5}{8}×60×40$,解得$a_{1}=5$,$a_{2}=45$(舍去).
答:通道的面积与花圃的面积之比能等于$3:5$,此时通道的宽为$5\ m$.

11. (2023·岳阳临湘市期中)如图，学校准备在围墙边用栅栏围成一个矩形场地ABCD(靠墙一面不用栅栏)，用于修建自行车车棚，所用栅栏的总长度为34米，墙的最大可用长度为18米.为了出入方便，在垂直于墙的一边留了一个2米宽的门(门用其他材料)，设栅栏AB的长为x米.解答下列问题：
(1)BC=$(36-2x)$米;(用含x的代数式表示)
(2)若围成的自行车车棚ABCD的面积为154米²，求栅栏BC的长；
(3)围成的自行车车棚ABCD的面积能为200米²吗?请说明理由.

答案：
(1)$(36-2x)$
(2)根据图形,可列方程$x(36-2x)=154$,解得$x_{1}=7$,$x_{2}=11$.当$x=7$时,$BC=36-2x=22＞18$,不符合题意,舍去,当$x=11$时,$BC=36-2x=14$,符合题意.
答:栅栏$BC$的长为14米.
(3)不能.理由如下:依题意,得$x(36-2x)=200$,整理,得$x^{2}-18x+100=0$.$\because\Delta=(-18)^{2}-4×1×100=-76＜0$,$\therefore$方程没有实数根,$\therefore$自行车车棚$ABCD$的面积不能为$200$米$^{2}$.

12. (2023·岳阳临湘六中月考)在长方形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t s.
(1)填空：BQ=$2t$cm，PB=$(5-t)$cm(用含t的代数式表示)；
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm?
(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm²?若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由.

答案：
(1)$2t$ $(5-t)$
(2)由题意,在$Rt\triangle PBQ$中,得$(5-t)^{2}+(2t)^{2}=5^{2}$,解得$t_{1}=0$,$t_{2}=2$.故当$t=0$或$2$时,$PQ$的长度等于$5\ cm$.
(3)存在.当$t=1$时,能够使得五边形$APQCD$的面积等于$26\ cm^{2}$.理由:$\because S_{长方形ABCD}=5×6=30(cm^{2})$,$S_{五边形APQCD}=26\ cm^{2}$,$\therefore S_{\triangle PBQ}=36-26=4(cm^{2})$,即$(5-t)×2t×\dfrac{1}{2}=4$.解得$t_{1}=4$,$t_{2}=1$.当$t=4$时,$2t=8＞6$,不合题意,舍去;当$t=1$时,$2t=2$,符合题意.故当$t=1$时,五边形$APQCD$的面积等于$26\ cm^{2}$.