《2025年名校课堂九年级数学上册湘教版湖南专版》

11. 如图所示，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，点 $ A,B $ 分别在函数 $ y_1 = \frac{2}{x}(x ＜ 0),y_2 = \frac{k}{x}(x ＞ 0,k ＞ 0) $ 的图象上，点 $ C $ 在第二象限内，$ AC \perp x $ 轴于点 $ P $，$ BC \perp y $ 轴于点 $ Q $，连接 $ AB,PQ $，已知点 $ A $ 的纵坐标为 $ -2 $.
(1) 求点 $ A $ 的横坐标；
(2) 记四边形 $ APQB $ 的面积为 $ S $，若点 $ B $ 的横坐标为 2，试用含 $ k $ 的代数式表示 $ S $.

答案： 解：
(1)$\because$点$A$在函数$y_{1}=\dfrac{2}{x}(x＜0)$的图象上，点$A$的纵坐标为$-2$，$\therefore -2=\dfrac{2}{x}$，解得$x=-1$.$\therefore$点$A$的横坐标为$-1$.
(2)$\because$点$B$在函数$y_{2}=\dfrac{k}{x}(x＞0,k＞0)$的图象上，点$B$的横坐标为$2$，$\therefore B\left(2,\dfrac{k}{2}\right)$.$\therefore PC=OQ=\dfrac{k}{2}$，$BQ=2$.$\because A(-1,-2)$，$\therefore OP=CQ=1$，$AP=2$.$\therefore AC=2+\dfrac{k}{2}$，$BC=1+2=3$.$\therefore S=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle PQC}=\dfrac{1}{2}AC\cdot BC-\dfrac{1}{2}PC\cdot CQ=\dfrac{1}{2}×\left(2+\dfrac{k}{2}\right)×3-\dfrac{1}{2}×\dfrac{k}{2}×1=3+\dfrac{1}{2}k$.

12. 如图，一次函数 $ y = ax + b $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 的图象交于 $ A,B(-1,n) $ 两点，与 $ x $ 轴交于点 $ C(1,0) $，$ AC = \sqrt{10} $，且 $ S_{\triangle AOC} = \frac{3}{2} $.
(1) 求反比例函数与一次函数的表达式；
(2) 根据图象直接写出不等式 $ \frac{k}{x} ＞ ax + b $ 的解集.

答案： 解：
(1)过点$A$作$AE\perp x$轴于点$E$.$\because C(1,0)$，$\therefore OC=1$.$\because S_{\triangle AOC}=\dfrac{3}{2}$，$\therefore \dfrac{1}{2}OC\cdot AE=\dfrac{3}{2}$.$\therefore AE=3$.在$Rt\triangle ACE$中，$CE=\sqrt{AC^{2}-AE^{2}}=\sqrt{10-9}=1$，$\therefore OE=2$.$\therefore A(2,3)$.$\therefore k=2×3=6$.$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{6}{x}$.将点$A$，$C$的坐标代入$y=ax+b$，得$\begin{cases}2a+b=3,\\a+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\b=-3.\end{cases}$$\therefore$一次函数的表达式为$y=3x-3$.
(2)$x＜-1$或$0＜x＜2$.

如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象交矩形 $ OABC $ 的边 $ AB $ 于点 $ D $，边 $ BC $ 于点 $ E $，且 $ EB = 2EC $. 若四边形 $ ODBE $ 的面积为 6，则 $ k $ 的值为 3.
方法：第一步：设点：设点 $ C $ 的坐标为 $ (a,0) $.
第二步：标其他点：$ \because $ 点 $ E $ 与点 $ C $ 的横坐标一样，且点 $ E $ 在反比例函数图象上，
$ \therefore $ 点 $ E $ 的坐标为 (a,\dfrac{k}{a}). $ \because BE = 2EC. \therefore $ 点 $ B $ 的坐标为 (a,\dfrac{3k}{a}).
第三步：列方程：$ \because S_{四边形ODBE} = S_{矩形AOCB} - S_{\triangle AOD} - S_{\triangle COE} = 6 $，
$ \therefore $ 代入 $ B $ 点坐标后，解得 $ k = $ 3.

答案： 3 $(a,\dfrac{k}{a})$ $(a,\dfrac{3k}{a})$ 3

(2023·益阳安化县二模) 如图，菱形 $ AOBC $ 的顶点 $ A $ 在反比例函数 $ y = \frac{3}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上，反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象经过点 $ C $. 若 $ \angle AOB = 60° $，则 $ k = $ 9.

答案： 9