《2025年名校课堂九年级数学上册湘教版湖南专版》

1. 有下列方程：①$(x - 2)^2 = 5$；②$x^2 - 3x - 2 = 0$；③$2(x - 1)^2 = 3(x - 1)$，则解上述方程较适合的方法为(D)

A.①直接开平方法，②因式分解法，③配方法
B.①因式分解法，②分解法，③直接开平方法
C.①公式法，②直接开平方法，③因式分解法
D.①直接开平方法，②公式法，③因式分解法

答案： 1.D

2. 用下列方法解方程$x^2 - x - 6 = 0$，并完成解题过程。
(1) 配方法：
解：配方，得$x^{2}-x+(\frac {1}{2})^{2}-(\frac {1}{2})^{2}-6=0$，
即$(x - \frac{1}{2})^2 =$$\frac {25}{4}$。
开平方，得$x-\frac {1}{2}=\pm \frac {5}{2}$。
$\therefore x_1 =$3，$x_2 =$-2；
(2) 公式法：
解：$\because a =$1，$b =$-1，$c =$-6，
$b^2 - 4ac =$$(-1)^{2}-4×1×(-6)$$=$$25＞0$，
$\therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} =$$\frac {-(-1)\pm \sqrt {25}}{2×1}$$=$$\frac {1\pm 5}{2}$。
$\therefore x_1 =$3，$x_2 =$-2；
(3) 因式分解法：
解：因式分解，得$(x-3)(x+2)=0$。
$\therefore$$x-3=0$或$x+2=0$。
$\therefore x_1 =$3，$x_2 =$-2。

答案： 2.
(1)$x^{2}-x+(\frac {1}{2})^{2}-(\frac {1}{2})^{2}-6=0$ $\frac {25}{4}$ $x-\frac {1}{2}=\pm \frac {5}{2}$ 3 -2
(2)1 -1 -6 $(-1)^{2}-4×1×(-6)$ $25＞0$ $\frac {-(-1)\pm \sqrt {25}}{2×1}$ $\frac {1\pm 5}{2}$ 3 -2
(3)$(x-3)(x+2)=0$ $x-3=0$ $x+2=0$ 3 -2

3. 选用合适的方法解下列方程：
(1)$9x^2 - 25 = 0$；
(2)$x^2 - 6x - 4 = 0$；
(3)$(3x + 1)^2 + (3x + 1) = 0$；
(4)$2x^2 - 5x - 1 = 0$。

答案： 3.解:
(1)$x^{2}=\frac {25}{9},x=\pm \frac {5}{3}.\therefore x_{1}=-\frac {5}{3},x_{2}=\frac {5}{3}$.
(2)$x^{2}-6x+9-9-4=0.(x-3)^{2}=13.x-3=\pm \sqrt {13}.\therefore x_{1}=3+\sqrt {13},x_{2}=3-\sqrt {13}.$
(3)$(3x+1)(3x+1+1)=0.\therefore 3x+1=0$或$3x+2=0.\therefore x_{1}=-\frac {1}{3},x_{2}=-\frac {2}{3}$.
(4)$a=2,b=-5,c=-1.b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×2×(-1)=33＞0.\therefore x=\frac {5\pm \sqrt {33}}{4}.\therefore x_{1}=\frac {5+\sqrt {33}}{4},x_{2}=\frac {5-\sqrt {33}}{4}.$

4. 方程$x^2 + (\sqrt{3} - \sqrt{2})x - \sqrt{6} = 0$的根是(C)

A.$x_1 = -1$，$x_2 = 6$
B.$x_1 = -\sqrt{2}$，$x_2 = \sqrt{3}$
C.$x_1 = \sqrt{2}$，$x_2 = -\sqrt{3}$
D.$x_1 = 1$，$x_2 = -\sqrt{6}$

答案： 4.C

5. 若菱形的两条对角线的长是一元二次方程$(x - 5)^2 = 9$的两根，则该菱形的边长为(B)

A.$2\sqrt{17}$
B.$\sqrt{17}$
C.$2\sqrt{15}$
D.$\sqrt{15}$

答案： 5.B

6. 新考向 阅读理解 阅读下列材料，解答问题：
解方程：$(2x - 5)^2 + (3x + 7)^2 = (5x + 2)^2$。
解：设$m = 2x - 5$，$n = 3x + 7$，则$m + n = 5x + 2$。
$\therefore$原方程可化为$m^2 + n^2 = (m + n)^2$。
整理，得$mn = 0$，即$(2x - 5)(3x + 7) = 0$。
解得$x_1 = \frac{5}{2}$，$x_2 = -\frac{7}{3}$。
请利用上述方法解方程：$(4x - 5)^2 + (3x - 2)^2 = (x - 3)^2$。

答案： 6.解:设$m=4x-5,n=3x-2$,则$m-n=(4x-5)-(3x-2)=x-3$.原方程化为$m^{2}+n^{2}=(m-n)^{2}$.整理,得$mn=0$,即$(4x-5)(3x-2)=0.4x-5=0$或$3x-2=0$.解得$x_{1}=\frac {5}{4},x_{2}=\frac {2}{3}.$