《2025年名校课堂九年级数学上册湘教版湖南专版》

11. 小明将一副三角板按如图所示的方式叠放，则$\triangle AOD$与$\triangle BOC$的面积之比为(B)

A.$1:\sqrt{3}$
B.$1:3$
C.$1:\sqrt{2}$
D.$1:2$

答案： B

12. 如图，在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$，垂足为$D$.如果$\frac{C_{\triangle ADC}}{C_{\triangle CDB}}=\frac{3}{2}$，$AD = 8$，那么$CD$的长是$\frac{16}{3}$.

答案： $\frac{16}{3}$

13. 如图，$\triangle ABC$是等边三角形，被一边平行于$BC$的矩形所截，$AB$被截成三等份.若$\triangle ABC$的面积为$1$，则阴影部分的面积为$\frac{1}{3}$.

答案： $\frac{1}{3}$

14. 如图，已知$\triangle ABC$的周长为$1$，连接$\triangle ABC$三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形……以此类推，第$2025$个三角形的周长为$\frac{1}{2^{2024}}$.

答案： $\frac{1}{2^{2024}}$

15. (2023·邵阳期末)如图，$O$为$\triangle ABC$内任意一点，连接$OA$，$OB$，$OC$，$D$，$E$，$F$分别为$AC$，$BC$，$OC$的中点，连接$DE$，$EF$，$FD$.
(1)求证：$\triangle DEF\backsim\triangle ABO$；
(2)当$\angle AOB = 90^{\circ}$，$AO = 8$，$BO = 6$时，求$\triangle DEF$的面积.

答案：
(1)证明：$\because D$，$E$，$F$分别为$AC$，$BC$，$OC$的中点，$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{DF}{AO}=\frac{1}{2}$，$\frac{EF}{BO}=\frac{1}{2}$．$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AO}=\frac{EF}{BO}$．$\therefore \triangle DEF\backsim \triangle ABO$．
(2)$\because \angle AOB=90°$，$AO=8$，$BO=6$，$\therefore S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}AO\cdot BO=\frac{1}{2}× 8× 6=24$．又$\because \triangle DEF\backsim \triangle ABO$，$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$，$\therefore \frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle ABO}}=\frac{1}{4}$．$\therefore S_{\triangle DEF}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABO}=6$．

16. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 5$，$BC = 3$，$AC = 4$，$PQ// AB$，点$P$在$AC$上（与点$A$，$C$不重合），点$Q$在$BC$上.
(1)当$\triangle PQC$的面积与四边形$PABQ$的面积相等时，求$PC$的长；
(2)当$\triangle PQC$的周长与四边形$PABQ$的周长相等时，求$PC$的长.

答案：
(1)$\because S_{\triangle PQC}=S_{四边形PABQ}$，且$S_{\triangle PQC}+S_{四边形PABQ}=S_{\triangle ABC}$，$\therefore S_{\triangle PQC}:S_{\triangle ABC}=1:2$．$\because PQ// AB$，$\therefore \triangle PQC\backsim \triangle ABC$．$\therefore S_{\triangle PQC}:S_{\triangle ABC}=\left(\frac{PC}{AC}\right)^2=1:2$．$\therefore PC^2=\frac{1}{2}AC^2=8$．$\therefore PC=2\sqrt{2}$．
(2)$\because \triangle PQC$的周长与四边形$PABQ$的周长相等，$\therefore PC+CQ+PQ=PA+AB+QB+PQ$．$\therefore PC+CQ=PA+AB+QB$．又$\because PC+CQ+PA+AB+QB=AC+BC+AB$，$\therefore PC+CQ=PA+AB+QB=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)=6$．$\therefore CQ=6-PC$．$\because \triangle PQC\backsim \triangle ABC$，$\therefore \frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{CB}$，则$\frac{PC}{4}=\frac{6-PC}{3}$．解得$CP=\frac{24}{7}$．