《2025年名校课堂九年级数学上册湘教版湖南专版》

11. 如果 $x = -3$ 是一元二次方程 $ax^{2}=c$ 的一个根，那么该方程的另一个根是(A)

A.$3$
B.$-3$
C.$0$
D.$1$

答案： A

12. (2024·凉山州)若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + 2)x^{2}+x + a^{2}-4 = 0$ 的一个根是 $x = 0$，则 $a$ 的值为(A)

A.$2$
B.$-2$
C.$2$ 或 $-2$
D.$\frac{1}{2}$

答案： A

13. (2024·岳阳湘阴县月考)若关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 中，$a,b,c$ 满足 $a + b + c = 0$ 和 $a - b + c = 0$，则方程的根是(C)

A.$1,0$
B.$-1,0$
C.$1,-1$
D.无法确定

答案： C

14. (1)【整体思想】已知 $(x + y + 3)(x + y - 3)=72$，则 $x + y$ 的值为±9；
(2)若实数 $a,b$ 满足 $25(a^{2}+b^{2}-1)^{2}-36 = 0$，则 $a^{2}+b^{2}=$11/5。

答案：
(1)$\pm 9$
(2)$\dfrac{11}{5}$

15. 解下列方程：
（1）$(2x + 3)^{2}-16 = 0$；
（2）$\frac{1}{2}(2x - 5)^{2}-2 = 0$；
（3）$(x - 3)^{2}=(2x + 1)^{2}$。

答案： 15.解:
(1)移项,得$(2x+3)^{2}=16$.根据平方根的意义,得$2x+3=4$或$2x+3=-4$.因此,原方程的根为$x_{1}=\dfrac{1}{2}$,$x_{2}=-\dfrac{7}{2}$.
(2)$(2x-5)^{2}=4$,$2x-5=\pm 2$,$x_{1}=\dfrac{7}{2}$,$x_{2}=\dfrac{3}{2}$.
(3)根据平方根的意义,得$x-3=2x+1$或$x-3=-(2x+1)$.因此,原方程的根为$x_{1}=\dfrac{2}{3}$,$x_{2}=-4$.

16. 自由下落的物体的高度 $h$（米）与下落的时间 $t$（秒）的关系为 $h = 4.9t^{2}$，现有一铁球从离地面 $19.6$ 米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要多少秒？

答案： 16.解:当$h=19.6$时,$4.9t^{2}=19.6$.$\therefore t_{1}=2$,$t_{2}=-2$(不合题意,舍去).$\therefore t=2$.
答:到达地面需要2秒.

17. 新考向 阅读理解 阅读与思考
下面是小亮同学的数学小论文(部分)，请仔细阅读并完成相应的任务。
平均数法解一元二次方程
在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
【例】 解方程：$x(x + 4)=6$。
解：原方程变形，得 $[(x + 2)-2][(x + 2)+2]=6$。
由平方差公式，得 $(x + 2)^{2}-2^{2}=6$。
移项，得 $(x + 2)^{2}=6 + 2^{2}$，即 $(x + 2)^{2}=10$。
直接开平方并整理，得 $x_{1}=-2+\sqrt{10},x_{2}=-2-\sqrt{10}$。
我们称这种解法为“平均数法”。
下面是小明用“平均数法”解方程 $(x + 3)(x + 7)=5$ 的过程。
解：原方程变形，得 $[(x + a)-b][(x + a)+b]=5$。
由平方差公式，得 $(x + a)^{2}-b^{2}=5$。
移项，得 $(x + a)^{2}=5 + b^{2}$。
直接开平方并整理，得 $x_{1}=c,x_{2}=d(c ＞ d)$。
任务：
(1)上述过程中，$a,b,c,d$ 表示的数分别为5，2，-2，-8。
(2)请用“平均数法”解方程：$(x - 5)(x + 3)=5$。

答案： 17.解:
(1)5 2 -2 -8
(2)原方程$(x-5)(x+3)=5$变形,得$[(x-1)-4][(x-1)+4]=5$.由平方差公式,得$(x-1)^{2}-4^{2}=5$.移项,得$(x-1)^{2}=5+4^{2}$,即$(x-1)^{2}=21$.直接开平方并整理,得$x_{1}=1+\sqrt{21}$,$x_{2}=1-\sqrt{21}$.