《2025年暑假作业八年级数学北师大版兰州大学出版社》

13. 如图13所示,在四边形ABCD中,AD//BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.
求证：
(1)FC= AD；
(2)AB= BC+AD.

答案：
(1) $\because AD// BC$（已知），$\therefore \angle ADC=\angle ECF$（两直线平行，内错角相等）。$\because E$ 是 $CD$ 的中点（已知），$\therefore DE = EC$（中点的定义）。$\because$ 在 $\triangle ADE$ 与 $\triangle FCE$ 中，$\angle ADC=\angle ECF$，$DE = EC$，$\angle AED=\angle CEF$，$\therefore \triangle ADE\cong\triangle FCE(ASA)$，$\therefore FC = AD$（全等三角形的性质）。
(2) $\because \triangle ADE\cong\triangle FCE$，$\therefore AE = EF$，$\because BE\perp AE$（已知），$\therefore BE$ 是线段 $AF$ 的垂直平分线，$\therefore AB = BF = BC + CF$，$\because AD = CF$（已证），$\therefore AB = BC + AD$（等量代换）。