《2025年暑假作业八年级数学北师大版兰州大学出版社》

16. 对于试题：“先化简,再求值：$\frac {x-3}{x^{2}-1}-\frac {1}{1-x}$,其中$x= 2$。”小亮写出了如下解答过程：
$\because \frac {x-3}{x^{2}-1}-\frac {1}{1-x}$
$=\frac {x-3}{(x-1)(x+1)}-\frac {1}{x-1}$①
$=\frac {x-3}{(x-1)(x+1)}-\frac {x+1}{(x-1)(x+1)}$②
$=x-3-(x+1)= 2x-2$,③
$\therefore当x= 2$时,原式$=2×2-2= 2$。④
(1)小亮的解答在哪一步开始出现错误：(直接填序号)①；
(2)从②到③是否正确：不正确；若不正确,错误的原因是把分母去掉了；
(3)请你写出正确的解答过程。
解：$\frac{x - 3}{x^{2} - 1} - \frac{1}{1 - x}$
$=\frac{x - 3}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{1}{x - 1}$
$=\frac{x - 3}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)}$
$=\frac{x - 3 + x + 1}{(x - 1)(x + 1)}$
$=\frac{2x - 2}{(x - 1)(x + 1)}$
$=\frac{2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}$
$=\frac{2}{x + 1}$
当$x = 2$时，原式$=\frac{2}{2 + 1}=\frac{2}{3}$

答案：
(1) ①
(2) 不正确；把分母去掉了
(3) 解：$\frac{x - 3}{x^{2} - 1} - \frac{1}{1 - x}$
$=\frac{x - 3}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{1}{x - 1}$
$=\frac{x - 3}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)}$
$=\frac{x - 3 + x + 1}{(x - 1)(x + 1)}$
$=\frac{2x - 2}{(x - 1)(x + 1)}$
$=\frac{2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}$
$=\frac{2}{x + 1}$
当$x = 2$时，原式$=\frac{2}{2 + 1}=\frac{2}{3}$

17. 甲、乙两人各走14千米,甲比乙早半小时走完全程。已知甲与乙速度的比为$8:7$,则两人的速度各是多少？

答案： 解：设甲的速度为 $8x$ 千米/时，则乙的速度为 $7x$ 千米/时。
依题意，得 $\frac{14}{7x} - \frac{14}{8x} = \frac{1}{2}$。
解得 $x = \frac{1}{2}$。
经检验，$x = \frac{1}{2}$ 是原方程的解。
所以甲的速度为 $8x = 8×\frac{1}{2} = 4$ 千米/时，乙的速度为 $7x = 7×\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$ 千米/时。
答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是$\frac{7}{2}$千米/时。