《2025年暑假作业八年级数学北师大版兰州大学出版社》

13. 计算题。
(1)$(\frac{x + 2}{x^{2}-2x}-\frac{x - 1}{x^{2}-4x + 4})÷\frac{x - 4}{x}$；
(2)$\frac{y}{x^{2}-y^{2}}÷(1-\frac{x}{x + y})$。

答案：
(1)解：原式$=[\frac{x+2}{x(x-2)}-\frac{x-1}{(x-2)^2}]÷\frac{x-4}{x}$
$=[\frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)^2}-\frac{x(x-1)}{x(x-2)^2}]\cdot\frac{x}{x-4}$
$=\frac{x^2-4-x^2+x}{x(x-2)^2}\cdot\frac{x}{x-4}$
$=\frac{x-4}{x(x-2)^2}\cdot\frac{x}{x-4}$
$=\frac{1}{(x-2)^2}$
(2)解：原式$=\frac{y}{(x+y)(x-y)}÷(\frac{x+y}{x+y}-\frac{x}{x+y})$
$=\frac{y}{(x+y)(x-y)}÷\frac{y}{x+y}$
$=\frac{y}{(x+y)(x-y)}\cdot\frac{x+y}{y}$
$=\frac{1}{x-y}$

14. 化简求值。
(1)$(1+\frac{1}{x - 1})÷(1-\frac{1}{x - 1})$,其中$x= -\frac{1}{2}$；
(2)$(1-\frac{3x - 1}{x + 1})÷\frac{x^{2}-2x + 1}{2x + 2}$,其中x = 2。

答案：
(1)解：原式$=(\frac{x-1}{x-1}+\frac{1}{x-1})÷(\frac{x-1}{x-1}-\frac{1}{x-1})$
$=\frac{x}{x-1}÷\frac{x-2}{x-1}$
$=\frac{x}{x-1}·\frac{x-1}{x-2}$
$=\frac{x}{x-2}$
当$x=-\frac{1}{2}$时，原式$=\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-2}=\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{5}{2}}=\frac{1}{5}$
(2)解：原式$=(\frac{x+1}{x+1}-\frac{3x-1}{x+1})÷\frac{(x-1)^2}{2(x+1)}$
$=\frac{-2x+2}{x+1}·\frac{2(x+1)}{(x-1)^2}$
$=\frac{-2(x-1)}{x+1}·\frac{2(x+1)}{(x-1)^2}$
$=-\frac{4}{x-1}$
当$x=2$时，原式$=-\frac{4}{2-1}=-4$

15. 解方程。
(1)$\frac{10}{2x - 1}+\frac{5}{1 - 2x}= 2$；
(2)$\frac{2}{x - 1}-\frac{3}{x + 1}= \frac{x + 3}{x^{2}-1}$。

答案：
(1)解：方程两边同乘$(2x-1)$，得$10 - 5 = 2(2x - 1)$
$5 = 4x - 2$
$4x = 7$
$x = \frac{7}{4}$
经检验，$x = \frac{7}{4}$是原方程的解。
(2)解：方程两边同乘$(x - 1)(x + 1)$，得$2(x + 1) - 3(x - 1) = x + 3$
$2x + 2 - 3x + 3 = x + 3$
$-x + 5 = x + 3$
$-2x = -2$
$x = 1$
经检验，$x = 1$为增根，所以原方程无解。