《2025年暑假作业八年级数学北师大版兰州大学出版社》

1. 已知$x≠0$,则$\frac {1}{x}+\frac {1}{2x}+\frac {1}{3x}$等于 (D)
A.$\frac {1}{2x}$
B.$\frac {1}{6x}$
C.$\frac {5}{6x}$
D.$\frac {11}{6x}$

答案： 解：$\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{3x}$
$=\frac{6}{6x} + \frac{3}{6x} + \frac{2}{6x}$
$=\frac{6 + 3 + 2}{6x}$
$=\frac{11}{6x}$
D

2. $x克盐溶解在a$克水中,取这种盐水$m$克,其中含盐 (D)
A.$\frac {mx}{a}$克
B.$\frac {am}{x}$克
C.$\frac {am}{x+a}$克
D.$\frac {mx}{x+a}$克

答案： 解：盐水总质量为$x + a$克，盐的质量分数为$\frac{x}{x + a}$。取$m$克盐水，其中含盐量为$m×\frac{x}{x + a}=\frac{mx}{x + a}$克。
D

3. 某工地调来72人参加挖土和运土,已知3人挖出的土1人恰好全部运走,怎样调配才能使挖出的土及时运走且不窝工?解决此问题可设派$x$人挖土,其他人运土,列方程:
①$\frac {72-x}{x}= \frac {1}{3}$; ②$72-x= \frac {x}{3}$;
③$x+3x= 72$; ④$\frac {x}{72-x}= 3$.
上述方程中正确的有 (C)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 解：设派$x$人挖土，则运土人数为$72 - x$人。
因为$3$人挖出的土$1$人恰好运走，所以挖土人数是运土人数的$3$倍，即$x = 3(72 - x)$，变形可得$\frac{x}{72 - x}=3$（④正确）；
或运土人数是挖土人数的$\frac{1}{3}$，即$72 - x=\frac{x}{3}$（②正确）；
由$72 - x=\frac{x}{3}$两边同时除以$x$（$x\neq0$）可得$\frac{72 - x}{x}=\frac{1}{3}$（①正确）；
③中$x + 3x = 72$表示挖土人数与挖土人数的$3$倍之和为总人数，不符合题意，错误。
综上，①②④正确，共$3$个。
答案：C

4. 下列各式中,不是分式方程的是 (C)
A.$\frac {1}{x}= \frac {x+2}{x}$
B.$\frac {1}{x}(x+2)-x= 1$
C.$\frac {1}{3}(x+3)-4= 5$
D.$\frac {x}{2x+1}= \frac {2}{3x+4}$

答案： 解：分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。
A选项分母含未知数$x$，是分式方程；
B选项分母含未知数$x$，是分式方程；
C选项分母为常数3，不含未知数，不是分式方程；
D选项分母含未知数$x$，是分式方程。
答案：C

5. 分式方程$\frac {x}{x+1}= \frac {1}{2}$的解是 (A)
A.$x= 1$
B.$x= -1$
C.$x= 2$
D.$x= -2$

答案： 解：方程两边同乘$2(x + 1)$，得$2x = x + 1$
移项，得$2x - x = 1$
合并同类项，得$x = 1$
检验：当$x = 1$时，$2(x + 1) = 2×(1 + 1) = 4 ≠ 0$
所以，原分式方程的解为$x = 1$
答案：A

6. 若解关于$x的分式方程\frac {2x-m}{x-2}= 1$时出现了增根,则$m$的值为 (A)
A.4
B.-2
C.-4
D.2

答案： 解：方程两边同乘$x - 2$得：$2x - m = x - 2$
解得：$x = m - 2$
因为分式方程有增根，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$
则$m - 2 = 2$，解得$m = 4$
答案：A

7. 若$ab= 2,a+b= -1$,则$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}$的值为$-\frac{1}{2}$.

答案： 解：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}$，
因为$ab=2$，$a+b=-1$，
所以原式$=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
$-\frac{1}{2}$

8. 化简分式$(\frac {2}{x+y}-\frac {x-3y}{x^{2}-y^{2}})÷\frac {1}{x-y}$的结果为1.

答案： 解：原式$=[\frac{2}{x+y}-\frac{x-3y}{(x+y)(x-y)}]\cdot (x-y)$
$=\frac{2(x-y)-(x-3y)}{(x+y)(x-y)}\cdot (x-y)$
$=\frac{2x-2y-x+3y}{x+y}$
$=\frac{x+y}{x+y}$
$=1$
结果为$1$。

9. 使$\frac {x}{x-3}+\frac {2}{3-x}-2$的值为0的$x$的值为4.

答案： 解：由题意得$\frac{x}{x - 3} + \frac{2}{3 - x} - 2 = 0$
$\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x - 3} - 2 = 0$
$\frac{x - 2}{x - 3} - 2 = 0$
$\frac{x - 2 - 2(x - 3)}{x - 3} = 0$
$\frac{x - 2 - 2x + 6}{x - 3} = 0$
$\frac{-x + 4}{x - 3} = 0$
则$-x + 4 = 0$且$x - 3 \neq 0$
解得$x = 4$
经检验，$x = 4$是原方程的解。
4

10. 已知$x= \frac {2y+3}{3y-2}$,用含$x的代数式表示y$为$\frac{2x + 3}{3x - 2}$.

答案： 解：$x=\frac{2y+3}{3y-2}$
$x(3y-2)=2y+3$
$3xy-2x=2y+3$
$3xy-2y=2x+3$
$y(3x-2)=2x+3$
$y=\frac{2x+3}{3x-2}$
$\frac{2x + 3}{3x - 2}$

11. 方程$\frac {-3x}{2ax+1}= 1的解是x= 3$,则$a= $$-\frac{5}{3}$.

答案： 解：将$x = 3$代入方程$\frac{-3x}{2ax + 1}=1$，得
$\frac{-3×3}{2a×3 + 1}=1$
$\frac{-9}{6a + 1}=1$
$-9 = 6a + 1$
$6a=-10$
$a=-\frac{5}{3}$
$-\frac{5}{3}$

12. 某人走一段山路,从山脚到山顶的平均速度是$a$千米/时,从山顶到山脚的平均速度是$b$千米/时,则他上、下山的平均速度是 $\frac{2ab}{a + b}$千米/时.

答案： 设从山脚到山顶的路程为$s$千米。
上山所用时间为：$\frac{s}{a}$小时
下山所用时间为：$\frac{s}{b}$小时
总路程为：$2s$千米
总时间为：$\frac{s}{a} + \frac{s}{b} = \frac{sb + sa}{ab} = \frac{s(a + b)}{ab}$小时
平均速度 = 总路程÷总时间，即：$\frac{2s}{\frac{s(a + b)}{ab}} = \frac{2ab}{a + b}$千米/时
$\frac{2ab}{a + b}$千米/时