《2025年暑假作业八年级数学北师大版兰州大学出版社》

13. 计算。
(1)$\frac {b}{a}\cdot \frac {a}{c}$；
(2)$\frac {x^{2}-4y^{2}}{3xy^{3}}\cdot \frac {xy}{x+2y}$；
(3)$\frac {a^{2}-1}{a^{2}-4}\cdot \frac {a+2}{a^{2}-2a+1}\cdot \frac {a^{2}-4a+4}{a+1}$；
(4)$1+\frac {n-m}{m-2n}÷\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}-4mn+4n^{2}}$。

答案：
(1) $\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{c} = \frac{b \cdot a}{a \cdot c} = \frac{b}{c}$
(2) $\frac{x^2 - 4y^2}{3xy^3} \cdot \frac{xy}{x + 2y} = \frac{(x + 2y)(x - 2y)}{3xy^3} \cdot \frac{xy}{x + 2y} = \frac{(x - 2y) \cdot xy}{3xy^3} = \frac{x - 2y}{3y^2}$
(3) $\frac{a^2 - 1}{a^2 - 4} \cdot \frac{a + 2}{a^2 - 2a + 1} \cdot \frac{a^2 - 4a + 4}{a + 1}$
$= \frac{(a + 1)(a - 1)}{(a + 2)(a - 2)} \cdot \frac{a + 2}{(a - 1)^2} \cdot \frac{(a - 2)^2}{a + 1}$
$= \frac{(a + 1)(a - 1)(a + 2)(a - 2)^2}{(a + 2)(a - 2)(a - 1)^2(a + 1)}$
$= \frac{a - 2}{a - 1}$
(4) $1 + \frac{n - m}{m - 2n} ÷ \frac{m^2 - n^2}{m^2 - 4mn + 4n^2}$
$= 1 + \frac{n - m}{m - 2n} \cdot \frac{(m - 2n)^2}{(m + n)(m - n)}$
$= 1 + \frac{-(m - n)(m - 2n)^2}{(m - 2n)(m + n)(m - n)}$
$= 1 - \frac{m - 2n}{m + n}$
$= \frac{m + n - (m - 2n)}{m + n}$
$= \frac{m + n - m + 2n}{m + n}$
$= \frac{3n}{m + n}$

14. 先化简再求值：
$(a+2+\frac {4}{a-2})÷\frac {a^{3}}{a^{2}-4a+4}$,选一个你喜欢的$a$的值代入求值。

答案： 解：原式$=(a+2+\frac{4}{a-2})÷\frac{a^{3}}{a^{2}-4a+4}$
$=\left[\frac{(a+2)(a-2)}{a-2}+\frac{4}{a-2}\right]÷\frac{a^{3}}{(a-2)^{2}}$
$=\frac{a^{2}-4 + 4}{a - 2}\cdot\frac{(a - 2)^{2}}{a^{3}}$
$=\frac{a^{2}}{a - 2}\cdot\frac{(a - 2)^{2}}{a^{3}}$
$=\frac{a - 2}{a}$
要使分式有意义，需$a - 2\neq0$，$a^{3}\neq0$，$a^{2}-4a + 4\neq0$，即$a\neq0$且$a\neq2$。
当$a = 1$时，原式$=\frac{1 - 2}{1}=-1$。

15. 小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球。小明家到体育公园的路程是1200米,小刚家到体育公园的路程是300米,已知小刚的速度是小明速度的3倍,若二人同时到达,则小明需提前4分钟出发,求小明和小刚两人的速度。

答案： 解：设小明的速度是 $x$ 米/分钟，则小刚的速度是 $3x$ 米/分钟。
根据题意，得 $\frac{1200}{x} - 4 = \frac{300}{3x}$。
解得 $x = 275$。
经检验，$x = 275$ 是原方程的根，且符合题意。
则 $3x = 3×275 = 825$。
答：小明的速度是 275 米/分钟，小刚的速度是 825 米/分钟。