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1. 如图1所示,$AD\bot OB$,$BC\bot OA$,垂足分别为D、C,AD与BC相交于点P,若$PA= PB$,则$\angle 1与\angle 2$
的大小是(
A.$\angle 1= \angle 2$
B.$\angle 1＞\angle 2$
C.$\angle 1＜\angle 2$
D.无法确定
的大小是(A
)A.$\angle 1= \angle 2$
B.$\angle 1＞\angle 2$
C.$\angle 1＜\angle 2$
D.无法确定
答案：
解：
∵AD⊥OB，BC⊥OA，
∴∠ACP=∠BDP=90°．
在△ACP和△BDP中，
∠ACP=∠BDP，
∠APC=∠BPD（对顶角相等），
PA=PB，
∴△ACP≌△BDP（AAS）．
∴PC=PD．
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
OP=OP，
PC=PD，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）．
∴∠1=∠2．
答案：A
∵AD⊥OB，BC⊥OA，
∴∠ACP=∠BDP=90°．
在△ACP和△BDP中，
∠ACP=∠BDP，
∠APC=∠BPD（对顶角相等），
PA=PB，
∴△ACP≌△BDP（AAS）．
∴PC=PD．
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
OP=OP，
PC=PD，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）．
∴∠1=∠2．
答案：A
2. $\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ }$,$AC= BC$,AD是$\angle BAC$的平分线,$DE\bot AB$,垂足为E,若$AB= 12cm$,则$\triangle DBE$的周长为(
A.$12cm$
B.$10cm$
C.$14cm$
D.$11cm$
A
)A.$12cm$
B.$10cm$
C.$14cm$
D.$11cm$
答案：
解：
∵∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠B=45°.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE（角平分线性质），AE=AC（全等三角形判定：HL）.
设CD=DE=x，AC=BC=a，则AE=AC=a，BE=AB-AE=12-a.
∵BC=CD+DB，
∴DB=a-x.
在Rt△DEB中，∠B=45°，
∴DE=BE=x，即x=12-a.
△DBE的周长=DB+BE+DE=(a-x)+x+x=a+x.
∵x=12-a，
∴a+x=12.
故△DBE的周长为12cm.
答案：A
∵∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠B=45°.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE（角平分线性质），AE=AC（全等三角形判定：HL）.
设CD=DE=x，AC=BC=a，则AE=AC=a，BE=AB-AE=12-a.
∵BC=CD+DB，
∴DB=a-x.
在Rt△DEB中，∠B=45°，
∴DE=BE=x，即x=12-a.
△DBE的周长=DB+BE+DE=(a-x)+x+x=a+x.
∵x=12-a，
∴a+x=12.
故△DBE的周长为12cm.
答案：A
3. 如图2所示,已知AP、CP分别是$\triangle ABC的外角\angle DAC$、$\angle ECA$的平分线,$PM\bot BD$,$PN\bot BE$,垂足分别为M、N,那么PM与PN的关系是(
A.$PM＞PN$
B.$PM= PN$
C.$PM＜PN$
D.无法确定
B
)A.$PM＞PN$
B.$PM= PN$
C.$PM＜PN$
D.无法确定
答案：
解：过点P作PF⊥AC于点F。
∵AP平分∠DAC，PM⊥BD，PF⊥AC，
∴PM=PF（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵CP平分∠ECA，PN⊥BE，PF⊥AC，
∴PN=PF（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∴PM=PN。
答案：B
∵AP平分∠DAC，PM⊥BD，PF⊥AC，
∴PM=PF（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵CP平分∠ECA，PN⊥BE，PF⊥AC，
∴PN=PF（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∴PM=PN。
答案：B
4. 如图3所示,$\triangle ABC$中,$AB= AC$,AD是$\angle BAC$的平分线,$DE\bot AB$,$DF\bot AC$,垂足分别是E、F,下面给出四个结论,其中正确的结论有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD，∠BAD=∠CAD。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线性质）。
①在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD，DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠ADE=∠ADF，即DA平分∠EDF，①正确。
②由①中全等得AE=AF，②正确。
③AD是BC的垂直平分线（等腰三角形三线合一），
∴AD上的点到B、C距离相等，③正确。
④到AE、AF距离相等的点在∠BAC的平分线上，即AD上，
AD平分∠EDF，故AD上的点到DE、DF距离相等，④正确。
综上，①②③④均正确，答案选D。
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD，∠BAD=∠CAD。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线性质）。
①在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD，DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠ADE=∠ADF，即DA平分∠EDF，①正确。
②由①中全等得AE=AF，②正确。
③AD是BC的垂直平分线（等腰三角形三线合一），
∴AD上的点到B、C距离相等，③正确。
④到AE、AF距离相等的点在∠BAC的平分线上，即AD上，
AD平分∠EDF，故AD上的点到DE、DF距离相等，④正确。
综上，①②③④均正确，答案选D。
5. 如图4所示,已知点D是$\angle ABC$的平分线上一点,点P在BD上,$PA\bot AB$,$PC\bot BC$,垂足分别为A、C。下列结论错误的是(
A.$AD= CP$
B.$\triangle ABP≌\triangle CBP$
C.$\triangle ABD≌\triangle CBD$
D.$\angle ADB= \angle CDB$
A
)A.$AD= CP$
B.$\triangle ABP≌\triangle CBP$
C.$\triangle ABD≌\triangle CBD$
D.$\angle ADB= \angle CDB$
答案：
解：
∵BD平分∠ABC，PA⊥AB，PC⊥BC，
∴PA=PC（角平分线性质）。
选项B：在Rt△ABP和Rt△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l} PA=PC \\ BP=BP \end{array}\right.$，
∴Rt△ABP≌Rt△CBP（HL），B正确。
选项C：由△ABP≌△CBP得AB=CB。
在△ABD和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CB \\ ∠ABD=∠CBD \\ BD=BD \end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD（SAS），C正确。
选项D：由△ABD≌△CBD得∠ADB=∠CDB，D正确。
选项A：AD与CP不一定相等，A错误。
答案：A
∵BD平分∠ABC，PA⊥AB，PC⊥BC，
∴PA=PC（角平分线性质）。
选项B：在Rt△ABP和Rt△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l} PA=PC \\ BP=BP \end{array}\right.$，
∴Rt△ABP≌Rt△CBP（HL），B正确。
选项C：由△ABP≌△CBP得AB=CB。
在△ABD和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CB \\ ∠ABD=∠CBD \\ BD=BD \end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD（SAS），C正确。
选项D：由△ABD≌△CBD得∠ADB=∠CDB，D正确。
选项A：AD与CP不一定相等，A错误。
答案：A
6. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ }$,AD平分$\angle BAC$交BC于点D,若$CD= 8$,则点D到斜边AB的距离等于
8
。
答案：
解：过点D作DE⊥AB于点E。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=8。
故点D到斜边AB的距离等于8。
答案：8
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=8。
故点D到斜边AB的距离等于8。
答案：8
7. 已知点C是$\angle AOB$平分线上的一点,点P、$P'$分别在边OA、OB上,如果要得到$OP= OP'$,需要添加以下条件中的某一个即可,请你写出所有可能结果的序号
①②④
。
答案：
①②④
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