《2025年暑假作业八年级数学北师大版兰州大学出版社》

1. 下列不等式组中,是一元一次不等式组的为 (A)
A.$\left\{ \begin{array} { l } { x ＞ 2, } \\ { x ＜ - 3 } \end{array} \right.$
B.$\left\{ \begin{array} { l } { x + 1 ＞ 0, } \\ { y - 2 ＜ 0 } \end{array} \right.$
C.$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 ＞ 0, } \\ { ( x - 2 ) ( x + 3 ) ＞ 0 } \end{array} \right.$
D.$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 ＞ 0, } \\ { x + 1 ＞ \frac { 1 } { x } } \end{array} \right.$

答案： 要判断一个不等式组是否为一元一次不等式组，需满足以下条件：只含有一个未知数，且每个不等式都是一元一次不等式（未知数的最高次数为1，不等号两边都是整式）。
选项A：$\left\{ \begin{array} { l } { x ＞ 2, } \\ { x ＜ - 3 } \end{array} \right.$
- 只含有未知数$x$。
- 每个不等式都是一元一次不等式。
符合一元一次不等式组的定义。
选项B：$\left\{ \begin{array} { l } { x + 1 ＞ 0, } \\ { y - 2 ＜ 0 } \end{array} \right.$
- 含有两个未知数$x$和$y$。
不符合“一元”的要求。
选项C：$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 ＞ 0, } \\ { ( x - 2 ) ( x + 3 ) ＞ 0 } \end{array} \right.$
- 第二个不等式展开后为$x^2 + x - 6 ＞ 0$，未知数的最高次数是2。
不符合“一次”的要求。
选项D：$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 ＞ 0, } \\ { x + 1 ＞ \frac { 1 } { x } } \end{array} \right.$
- 第二个不等式中$\frac{1}{x}$是分式，不是整式。
不符合一元一次不等式的定义。
结论：只有选项A是一元一次不等式组。
A

2. 下列说法正确的是 (C)
A.不等式组$\left\{ \begin{array} { l } { x ＞ 3, } \\ { x ＞ 5 } \end{array} \right.的解集是5 ＜ x ＜ 3$
B.不等式组$\left\{ \begin{array} { l } { x ＞ - 2, } \\ { x ＜ - 3 } \end{array} \right.的解集是- 3 ＜ x ＜ - 2$
C.不等式组$\left\{ \begin{array} { l } { x \geq 2, } \\ { x \leq 2 } \end{array} \right.的解集是x = 2$
D.不等式组$\left\{ \begin{array} { l } { x ＜ - 3, } \\ { x ＞ - 3 } \end{array} \right.的解集是x \neq 3$

答案： 解：
A. 不等式组$\left\{ \begin{array} { l } { x ＞ 3, } \\ { x ＞ 5 } \end{array} \right.$的解集是$x＞5$，A错误。
B. 不等式组$\left\{ \begin{array} { l } { x ＞ - 2, } \\ { x ＜ - 3 } \end{array} \right.$无解，B错误。
C. 不等式组$\left\{ \begin{array} { l } { x \geq 2, } \\ { x \leq 2 } \end{array} \right.$的解集是$x=2$，C正确。
D. 不等式组$\left\{ \begin{array} { l } { x ＜ - 3, } \\ { x ＞ - 3 } \end{array} \right.$无解，D错误。
答案：C

3. 不等式组$\left\{ \begin{array} { l } { x ＞ - \frac { 2 } { 3 }, } \\ { x - 4 \leq 8 - 2 x } \end{array} \right.$的最小整数解为 (B)
A.-1
B.0
C.1
D.4

答案： 解：解不等式组$\left\{ \begin{array}{l} x ＞ -\frac{2}{3} \\ x - 4 \leq 8 - 2x \end{array} \right.$
解第二个不等式：$x - 4 \leq 8 - 2x$
$x + 2x \leq 8 + 4$
$3x \leq 12$
$x \leq 4$
所以不等式组的解集为$-\frac{2}{3} ＜ x \leq 4$
则该不等式组的整数解为$0, 1, 2, 3, 4$，最小整数解为$0$
答案：B

4. 在平面直角坐标系中,点$P ( 2 x - 6, x - 5 )$在第四象限,则$x$的取值范围是 (A)
A.$3 ＜ x ＜ 5$
B.$- 3 ＜ x ＜ 5$
C.$- 5 ＜ x ＜ 3$
D.$- 5 ＜ x ＜ - 3$

答案： 解：
∵点$P(2x - 6, x - 5)$在第四象限，
∴$\begin{cases}2x - 6 ＞ 0 \\ x - 5 ＜ 0\end{cases}$
解$2x - 6 ＞ 0$得：$2x ＞ 6$，$x ＞ 3$
解$x - 5 ＜ 0$得：$x ＜ 5$
∴$x$的取值范围是$3 ＜ x ＜ 5$
答案：A

5. 不等式组$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 ＞ 0, } \\ { x - 3 ＜ 0 } \end{array} \right.$的解集是 (C)
A.$x ＞ 2$
B.$x ＜ 3$
C.$2 ＜ x ＜ 3$
D.无解

答案： 解：解不等式$x - 2 ＞ 0$，得$x ＞ 2$；
解不等式$x - 3 ＜ 0$，得$x ＜ 3$；
所以不等式组的解集是$2 ＜ x ＜ 3$。
答案：C

6. 已知三角形三边的长分别为 2,3 和$a$,则$a$的取值范围是$1 ＜ a ＜ 5$。

答案： 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
所以$3 - 2 ＜ a ＜ 3 + 2$，即$1 ＜ a ＜ 5$。
$1 ＜ a ＜ 5$

7. 将一筐橘子分给若干个小朋友,如果每人分 4 个橘子,则剩下 9 个橘子；如果每人分 6 个橘子,则最后一个小朋友分得的橘子数将少于 3 个,由以上可推出,共有7个小朋友,分37个橘子。

答案： 解：设共有 $ x $ 个小朋友，橘子总数为 $ 4x + 9 $ 个。
根据题意，得：
$0 \leq 4x + 9 - 6(x - 1) ＜ 3$
化简不等式：
$0 \leq 4x + 9 - 6x + 6 ＜ 3$
$0 \leq -2x + 15 ＜ 3$
分两部分求解：
1. $-2x + 15 \geq 0 \implies x \leq 7.5$
2. $-2x + 15 ＜ 3 \implies x ＞ 6$
$ x $ 为整数，故 $ x = 7 $。
橘子总数：$ 4 × 7 + 9 = 37 $（个）
7；37

8. 不等式组$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 ＞ 2 ( x - 1 ), } \\ { x + 8 ＞ 4 x - 1 } \end{array} \right.$的解集为$-4 ＜ x ＜ 3$。

答案： 解：解不等式$3x + 2 ＞ 2(x - 1)$，
$3x + 2 ＞ 2x - 2$，
$3x - 2x ＞ -2 - 2$，
$x ＞ -4$。
解不等式$x + 8 ＞ 4x - 1$，
$8 + 1 ＞ 4x - x$，
$9 ＞ 3x$，
$x ＜ 3$。
所以不等式组的解集为$-4 ＜ x ＜ 3$。

9. 若不等式组$\left\{ \begin{array} { l } { x - a ＞ 2, } \\ { b - 2 x ＞ 0 } \end{array} \right.的解集是- 1 ＜ x ＜ 1$,则$( a + b ) ^ { 2006 } = $1。

答案： 解：解不等式$x - a ＞ 2$，得$x ＞ a + 2$。
解不等式$b - 2x ＞ 0$，得$x ＜ \frac{b}{2}$。
因为不等式组的解集是$-1 ＜ x ＜ 1$，所以$\begin{cases}a + 2 = -1 \\ \frac{b}{2} = 1\end{cases}$。
解得$a = -3$，$b = 2$。
则$a + b = -3 + 2 = -1$，$(a + b)^{2006} = (-1)^{2006} = 1$。
答案：1

10. 关于$x的不等式组\left\{ \begin{array} { l } { x ＞ 1 } \\ { x \leq m + 2 } \end{array} \right.$有且只有两个整数解,则$m$的取值范围是$1 \leq m ＜ 2$。

答案： 解：由不等式组$\left\{ \begin{array}{l} x ＞ 1 \\ x \leq m + 2 \end{array} \right.$可得，其解集为$1 ＜ x \leq m + 2$。
因为不等式组有且只有两个整数解，大于$1$的连续整数为$2$，$3$，所以这两个整数解只能是$2$和$3$。
则$3 \leq m + 2 ＜ 4$，
解得$1 \leq m ＜ 2$。
$1 \leq m ＜ 2$

11. 解不等式组
$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x - 2 ) \leq x - 4, \ \ ( 1 ) } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { 1 + x } { 2 } ＜ 0. \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( 2 ) } \end{array} \right.$

答案： 解：解不等式
(1)：$2(x - 2) \leq x - 4$
$2x - 4 \leq x - 4$
$2x - x \leq -4 + 4$
$x \leq 0$
解不等式
(2)：$\frac{x}{3} - \frac{1 + x}{2} ＜ 0$
$2x - 3(1 + x) ＜ 0$
$2x - 3 - 3x ＜ 0$
$-x - 3 ＜ 0$
$-x ＜ 3$
$x ＞ -3$
原不等式组的解集为$-3 ＜ x \leq 0$