《2025年暑假作业八年级数学北师大版兰州大学出版社》

1. 下列各式中,不是分式方程的是(D)
A.$\frac{1}{x}= \frac{x - 1}{x}$
B.$\frac{1}{x}(x - 1)+x = 1$
C.$\frac{1 - x}{10 + x}+\frac{x}{2 - x}= 1$
D.$\frac{1}{3}[\frac{1}{2}(x - 1)-1]= 1$

答案： 解：分式方程是分母中含有未知数的方程。
A. 分母中含有未知数$x$，是分式方程；
B. 分母中含有未知数$x$，是分式方程；
C. 分母中含有未知数$x$，是分式方程；
D. 分母为常数，不含未知数，不是分式方程。
结论：D

2. 如果分式$\frac{|x| - 5}{x^{2}+5x}$的值为0,那么x的值是(B)
A.0
B.5
C.-5
D.±5

答案： 要使分式$\frac{|x| - 5}{x^{2}+5x}$的值为0，则分子为0且分母不为0。
分子$|x| - 5 = 0$，解得$|x| = 5$，即$x = 5$或$x = -5$。
分母$x^{2}+5x = x(x + 5) \neq 0$，则$x \neq 0$且$x \neq -5$。
综上，$x = 5$。
答案：B

3. 把分式$\frac{2x + 2y}{x - y}$中的x、y都扩大2倍,则分式的值(A)
A.不变
B.扩大2倍
C.扩大4倍
D.缩小为原来的$\frac{1}{2}$

答案： 解：将x、y都扩大2倍，原分式变为$\frac{2(2x) + 2(2y)}{2x - 2y} = \frac{4x + 4y}{2(x - y)} = \frac{2(2x + 2y)}{2(x - y)} = \frac{2x + 2y}{x - y}$，与原分式值相等。
A

4. 下列分式中,最简分式有(C)
$\frac{a^{3}}{3x^{2}},\frac{x - y}{x^{2}+y^{2}},\frac{m^{2}+n^{2}}{m^{2}-n^{2}},\frac{m + 1}{m^{2}-1},\frac{a^{2}-2ab + b^{2}}{a^{2}-2ab - b^{2}}$
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

答案： 解：最简分式判断如下：
1. $\frac{a^{3}}{3x^{2}}$：分子分母无公因式，是最简分式。
2. $\frac{x - y}{x^{2}+y^{2}}$：分子分母无公因式，是最简分式。
3. $\frac{m^{2}+n^{2}}{m^{2}-n^{2}}$：分子分母无公因式，是最简分式。
4. $\frac{m + 1}{m^{2}-1}=\frac{m+1}{(m+1)(m-1)}$：分子分母有公因式$(m+1)$，不是最简分式。
5. $\frac{a^{2}-2ab + b^{2}}{a^{2}-2ab - b^{2}}=\frac{(a-b)^2}{a^{2}-2ab - b^{2}}$：分子分母无公因式，是最简分式。
综上，最简分式有4个。
答案：C

5. 分式方程$\frac{1}{x - 3}+\frac{1}{x + 3}= \frac{4}{x^{2}-9}$的解是(B)
A.x = ±2
B.x = 2
C.x = -2
D.无解

答案： 解：方程两边同乘最简公分母$(x - 3)(x + 3)$，得：
$x + 3 + x - 3 = 4$
合并同类项：$2x = 4$
解得：$x = 2$
检验：当$x = 2$时，$(x - 3)(x + 3) = (2 - 3)(2 + 3) = -5 ≠ 0$，
所以$x = 2$是原分式方程的解。
答案：B

6. 若2x + y = 0(x ≠ 0),则$\frac{x^{2}+xy + y^{2}}{2xy - x^{2}}$的值为(B)
A.$-\frac{1}{5}$
B.$-\frac{3}{5}$
C.1
D.无法确定

答案： 解：由2x + y = 0，得y = -2x。
将y = -2x代入原式：
$\begin{aligned}\frac{x^{2}+xy + y^{2}}{2xy - x^{2}}&=\frac{x^{2}+x(-2x)+(-2x)^{2}}{2x(-2x)-x^{2}}\\&=\frac{x^{2}-2x^{2}+4x^{2}}{-4x^{2}-x^{2}}\\&=\frac{3x^{2}}{-5x^{2}}\\&=-\frac{3}{5}\end{aligned}$
答案：B

7. 若分式$\frac{y^{2}-25}{5 - y}$的值等于0,则y = -5。

答案： 解：要使分式$\frac{y^{2}-25}{5 - y}$的值为0，则分子$y^{2}-25=0$且分母$5 - y\neq0$。
由$y^{2}-25=0$，得$(y + 5)(y - 5)=0$，解得$y = 5$或$y=-5$。
由$5 - y\neq0$，得$y\neq5$。
综上，$y=-5$。
答案：$-5$

8. 在比例式9:5 = 4:3x中,x = $\frac{20}{27}$。

答案： 解：根据比例的基本性质，内项之积等于外项之积，可得
$9×3x = 5×4$
$27x = 20$
$x=\frac{20}{27}$
$\frac{20}{27}$

9. 当x ＞$\frac{1}{3}$时,分式$\frac{-2}{1 - 3x}$的值为正数。

答案： 解：要使分式$\frac{-2}{1 - 3x}$的值为正数，
因为分子$-2$是负数，
所以分母$1 - 3x$必须为负数，
即$1 - 3x ＜ 0$，
解得$x ＞ \frac{1}{3}$。
$\frac{1}{3}$

10. 当分式$\frac{x + 2}{x - 1}与分式\frac{x^{2}+3x + 2}{x^{2}-1}$的值相等时,x须满足$x \neq \pm 1$。

答案： 解：由题意得，$\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{x^{2} + 3x + 2}{x^{2} - 1}$
对等式右边分式化简：$x^{2} - 1 = (x + 1)(x - 1)$，$x^{2} + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$，则$\frac{x^{2} + 3x + 2}{x^{2} - 1} = \frac{(x + 1)(x + 2)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x + 2}{x - 1}$（$x \neq \pm 1$）
原方程可化为$\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{x + 2}{x - 1}$
要使分式有意义，分母不能为 0，即$x - 1 \neq 0$且$x + 1 \neq 0$，解得$x \neq 1$且$x \neq -1$
所以$x$须满足$x \neq \pm 1$
答案：$x \neq \pm 1$

11. 已知$x+\frac{1}{x}= 3$,则$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}= $7。

答案： 解：因为$x + \frac{1}{x} = 3$，
所以$(x + \frac{1}{x})^2 = 3^2$，
即$x^2 + 2 × x × \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$，
化简得$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9$，
所以$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7$。
7

12. 已知分式$\frac{2x + 1}{x - 2}$,当x = 2时,分式没有意义；当x = $-\frac{1}{2}$时,分式的值为0；当x = -2时,分式的值为$\frac{3}{4}$。

答案： 解：当分式没有意义时，分母为0，即 $x - 2 = 0$，解得 $x = 2$；
当分式的值为0时，分子为0且分母不为0，即 $2x + 1 = 0$ 且 $x - 2 \neq 0$，解得 $x = -\frac{1}{2}$；
当 $x = -2$ 时，分式的值为 $\frac{2×(-2) + 1}{-2 - 2} = \frac{-4 + 1}{-4} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$。
2; $-\frac{1}{2}$; $\frac{3}{4}$