《2025年暑假作业八年级数学北师大版兰州大学出版社》

1. 设 $ a ＜ b $,用“＜”或“＞”填空.
(1) $ a - 1 $＜$ b - 1 $；
(2) $ a + 1 $＜$ b + 1 $；
(3) $ 2a $＜$ 2b $；
(4) $ - 2a $＞$ - 2b $；
(5) $ - \frac{a}{2} $＞$ - \frac{b}{2} $；
(6) $ \frac{a}{2} $＜$ \frac{b}{2} $.

答案： 1.
(1) ＜
(2) ＜
(3) ＜
(4) ＞
(5) ＞
(6) ＜

2. 根据不等式的基本性质,用“＜”或“＞”填空.
(1) 若 $ a - 1 ＞ b - 1 $,则 $ a $＞$ b $；
(2) 若 $ a + 3 ＞ b + 3 $,则 $ a $＞$ b $；
(3) 若 $ 2a ＞ 2b $,则 $ a $＞$ b $；
(4) 若 $ - 2a ＞ - 2b $,则 $ a $＜$ b $.

答案：
(1) ＞
(2) ＞
(3) ＞
(4) ＜

3. 若方程组 $ \begin{cases} 2x + y = k + 1 \\ x + 2y = - 1 \end{cases} $ 的解为 $ x $,$ y $,且 $ 3 ＜ k ＜ 6 $,则 $ x + y $ 的取值范围是$1\lt x + y\lt2$.

答案： 解：$\begin{cases}2x + y = k + 1&①\\x + 2y = -1&②\end{cases}$
①+②，得$3x + 3y = k$
即$x + y=\dfrac{k}{3}$
因为$3\lt k\lt6$
所以$1\lt\dfrac{k}{3}\lt2$
则$1\lt x + y\lt2$
答案：$1\lt x + y\lt2$

4. 若 $ a ＞ b $,且 $ m $ 为有理数,则 $ am ^ { 2 } $≥ $ bm ^ { 2 } $.

答案： 解：当 $ m = 0 $ 时，$ m^2 = 0 $，则 $ am^2 = bm^2 = 0 $；
当 $ m \neq 0 $ 时，$ m^2 ＞ 0 $，因为 $ a ＞ b $，所以 $ am^2 ＞ bm^2 $。
综上，$ am^2 \geq bm^2 $。
≥

5. 已知关于 $ x $ 的不等式 $ ( 1 - a ) x ＞ 2 $ 变形为 $ x ＜ \frac { 2 } { 1 - a } $,则 $ 1 - a $ 是负数.

答案： 解：因为不等式$(1 - a)x＞2$变形为$x＜\frac{2}{1 - a}$，不等号方向改变，所以$1 - a$是负数。
负

6. 下列说法不正确的是 (C)
A.若 $ a ＞ b $,则 $ a c ^ { 2 } ＞ b c ^ { 2 } ( c \neq 0 ) $
B.若 $ a ＞ b $,则 $ b ＜ a $
C.若 $ a ＞ b $,则 $ - a ＞ - b $
D.若 $ a ＞ b $,$ b ＞ c $,则 $ a ＞ c $

答案： 解：A. 若$a ＞ b$，$c \neq 0$，则$c^2 ＞ 0$，所以$ac^2 ＞ bc^2$，正确；
B. 若$a ＞ b$，则$b ＜ a$，正确；
C. 若$a ＞ b$，则$-a ＜ -b$，原说法错误；
D. 若$a ＞ b$，$b ＞ c$，则$a ＞ c$，正确。
答案：C

7. 已知实数 $ a $、$ b $、$ c $ 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是 (A)

A.$ b c ＞ a b $
B.$ a c ＞ a b $
C.$ b c ＜ a b $
D.$ c + b ＞ a + b $

答案： 由数轴可知：$c ＜ b ＜ 0 ＜ a$。
A. $bc ＞ ab$：
$\because c ＜ a$，$b ＜ 0$，不等式两边同乘负数$b$，不等号方向改变，$\therefore bc ＞ ab$，A正确。
B. $ac ＞ ab$：
$\because c ＜ b$，$a ＞ 0$，不等式两边同乘正数$a$，不等号方向不变，$\therefore ac ＜ ab$，B错误。
C. $bc ＜ ab$：由A知$bc ＞ ab$，C错误。
D. $c + b ＞ a + b$：
两边同时减$b$得$c ＞ a$，与$c ＜ a$矛盾，D错误。
答案：A

8. 若 $ x ＞ y $,$ c $ 为任意实数,则下列不等式一定成立的是 (C)
A.$ x + c ＜ y + c $
B.$ x c ^ { 2 } ＞ y c ^ { 2 } $
C.$ c - x ＜ c - y $
D.$ x c ＜ y c $

答案： 解：
A. 不等式两边加同一个数，不等号方向不变，故 $x + c ＞ y + c$，A错误；
B. 当 $c = 0$ 时，$xc^2 = yc^2 = 0$，B错误；
C. 由 $x ＞ y$ 得 $-x ＜ -y$，两边加 $c$ 得 $c - x ＜ c - y$，C正确；
D. 当 $c ＞ 0$ 时 $xc ＞ yc$，当 $c = 0$ 时 $xc = yc$，当 $c ＜ 0$ 时 $xc ＜ yc$，D错误。
答案：C

9. 若 $ m ＞ n $,且 $ a m ＜ a n $,则 $ a $ 的取值应满足条件 (B)
A.$ a ＞ 0 $
B.$ a ＜ 0 $
C.$ a = 0 $
D.$ a \geq 0 $

答案： 解：已知$m ＞ n$，且$am ＜ an$。
根据不等式的性质，当不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变。
因为$m ＞ n$两边同乘$a$后不等号方向改变，所以$a ＜ 0$。
答案：B

10. 下列不等式的变形正确的是 (B)
A.由 $ 4 x - 1 ＞ 2 $,得 $ 4 x ＞ 1 $
B.由 $ 5 x ＞ 3 $,得 $ x ＞ \frac { 3 } { 5 } $
C.由 $ \frac { x } { 2 } ＞ 0 $,得 $ x ＞ 2 $
D.由 $ - 2 x ＜ 4 $,得 $ x ＜ - 2 $

答案： 解：A.由$4x - 1＞2$，得$4x＞3$，变形错误；
B.由$5x＞3$，得$x＞\frac{3}{5}$，变形正确；
C.由$\frac{x}{2}＞0$，得$x＞0$，变形错误；
D.由$-2x＜4$，得$x＞ - 2$，变形错误。
故选：B

11. 小明解不等式 $ \frac { 1 + x } { 2 } \leq \frac { 1 + 3 x } { 3 } + 1 $ 的过程如下：
解：$ 3 ( 1 + x ) \leq 2 ( 1 + 3 x ) + 6 $ ①
$ 3 + 3 x \leq 2 + 6 x + 6 $ ②
$ 3 x - 6 x \leq 2 + 6 - 3 $ ③
$ - 3 x \leq 5 $ ④
$ x \leq - \frac { 5 } { 3 } $ ⑤
其中,小明出现错误的一步是 (D)
A.从①到②
B.从②到③
C.从③到④
D.从④到⑤

答案： 解：小明解不等式过程中，步骤①到④均正确，步骤⑤中，将不等式$-3x \leq 5$两边同时除以$-3$，不等号方向应改变，正确结果应为$x \geq -\frac{5}{3}$，故错误的一步是从④到⑤。
D