《2025年暑假作业八年级数学北师大版兰州大学出版社》

15. 某饮料厂开发了$A$、$B$两种新型饮料,主要原料均为甲和乙,每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示。现用甲原料和乙原料各$2800 \mathrm { g }$进行试生产,计划生产$A$、$B$两种饮料共 100 瓶。
| | 甲 | 乙 |
| $A$ | $20 \mathrm { g }$ | $40 \mathrm { g }$ |
| $B$ | $30 \mathrm { g }$ | $20 \mathrm { g }$ |
设生产$A种饮料x$瓶,解答下列问题：
(1) 有几种符合题意的生产方案？写出解答过程。
(2) 如果$A$种饮料每瓶的成本为 2.60 元,$B$种饮料每瓶的成本为 2.80 元,这两种饮料的成本总额为$y$元,请写出$y与x$之间的关系式,并说明$x$取何值时会使成本总额最低。

答案：
(1)设生产 $A$ 种饮料 $x$ 瓶，根据题意得 $\begin{cases}20x + 30(100 - x) \leq 2800, \\ 40x + 20(100 - x) \leq 2800.\end{cases}$ 解这个不等式组，得 $20 \leq x \leq 40$，因为其中正整数解共有 21 个，所以符合题意的生产方案有 21 种.
(2)根据题意得 $y = 2.6x + 2.8(100 - x)$，整理得 $y = -0.2x + 280$. 因为 $k = -0.2 ＜ 0$，所以 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，所以当 $x = 40$ 时成本总额最低.

16. 下图表示学校浴室淋浴器水箱中的水量$y ( \mathrm { L } )与进水时间x ( \mathrm { min } )的函数关系( 10 \leq x \leq 200 )$。
(1) 求$y与x$之间的函数关系式。
(2) 进水多少分钟后,水箱中的水量超过$100 \mathrm { L }$？

答案：
(1)设 $y = kx + b$，由图象可看出图象经过 $(10, 50)$，$(50, 150)$ 两点，
$\therefore \begin{cases}10k + b = 50, \\ 50k + b = 150.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = \frac{5}{2}, \\ b = 25.\end{cases}$
$\therefore y = \frac{5}{2}x + 25(10 \leq x \leq 200)$.
(2)水箱中的水超过 100 L，即 $y ＞ 100$，
$\therefore \frac{5}{2}x + 25 ＞ 100$，$\frac{5}{2}x ＞ 75$，$x ＞ 30$.
当进水时间多于 30 min 后，水箱中的水量超过 100 L.