《2025年暑假作业八年级数学北师大版兰州大学出版社》

13. 利用分解因式计算：1297的$5\%$减去897的$5\%$,差是多少？

答案： 1297×5% - 897×5%
= 5%×(1297 - 897)
= 5%×400
= 20

14. 利用因式分解计算：
(1)$2004^{2}-4×2004$；
(2)$(-2)^{101}+(-2)^{100}$。

答案：
(1)解：$2004^{2}-4×2004$
$=2004×(2004 - 4)$
$=2004×2000$
$=4008000$
(2)解：$(-2)^{101}+(-2)^{100}$
$=(-2)^{100}×(-2) + (-2)^{100}×1$
$=(-2)^{100}×(-2 + 1)$
$=2^{100}×(-1)$
$=-2^{100}$

15. 先因式分解,再求值：
$3x^{2}(a + 3)-4x^{2}y(a + 3)$,其中$a = - 1$,$x = 3$,$y = 1$。

答案： 解：$3x^{2}(a + 3) - 4x^{2}y(a + 3)$
$=x^{2}(a + 3)(3 - 4y)$，
当$a = -1$，$x = 3$，$y = 1$时，
原式$=3^{2}×(-1 + 3)×(3 - 4×1)$
$=9×2×(-1)$
$=-18$。

16. 已知$2x - y= \frac{1}{3}$,$xy = 2$,求$2x^{4}y^{3}-x^{3}y^{4}$的值。

答案： 解：$2x^{4}y^{3}-x^{3}y^{4}$
$=x^{3}y^{3}(2x - y)$
$=(xy)^{3}(2x - y)$
当$2x - y=\frac{1}{3}$，$xy = 2$时，
原式$=2^{3}×\frac{1}{3}$
$=8×\frac{1}{3}$
$=\frac{8}{3}$
答案：$\frac{8}{3}$

17. 设$n$为整数,求证：$(2n + 1)^{2}-25$能被4整除。

答案： 证明：$(2n + 1)^{2}-25$
$=(2n + 1)^{2}-5^{2}$
$=[(2n + 1)+5][(2n + 1)-5]$
$=(2n + 6)(2n - 4)$
$=2(n + 3)×2(n - 2)$
$=4(n + 3)(n - 2)$
因为$n$为整数，所以$(n + 3)(n - 2)$是整数，因此$4(n + 3)(n - 2)$能被4整除，即$(2n + 1)^{2}-25$能被4整除。

猜年龄
杨老师对同学们说：“我能猜出你们每一位同学的年龄,不信的话,你们就按下面的方法试试：先把你的年龄乘以5,再加5,然后把结果扩大2倍,最后把算得的结果告诉我,我就知道你的年龄了。”杨老师又说：“雨晴,你算出的结果是多少？”雨晴答：“130。”杨老师马上说：“你12岁。”如果你是杨老师,当李强同学算出的结果是140时,你能猜出李强多少岁吗？

答案： 设李强的年龄为$x$岁。
根据题意，计算过程为：先把年龄乘以5，再加5，然后把结果扩大2倍，即$2(5x + 5)$。
化简该式：$2(5x + 5) = 10x + 10 = 10(x + 1)$。
已知李强算出的结果是140，所以$10(x + 1) = 140$。
两边同时除以10：$x + 1 = 14$。
解得：$x = 13$。
答：李强13岁。