《2025年暑假作业八年级数学北师大版兰州大学出版社》

13. 先尺规作图,再证明。
(1)在所给的图形(图10)中完成下列作图(保留作图痕迹)：
①作$\angle ACB$的平分线CD,交AB于点D；
②延长BC到点E,使$CE= CA$,连接AE。
(2)求证：$CD// AE$。

答案：
证明：
(1) 作图如右图；
(2) $\because AC = CE$，$AC \perp CE$，
$\therefore \triangle ACE$ 为等腰直角三角形。
$\therefore \angle CAE = 45^{\circ}$，
$\because CD$ 平分 $\angle ACB$。
$\therefore \angle ACD = 45^{\circ}$。
$\therefore \angle ACD = \angle CAE$。
$\therefore CD // AE$。

14. 如图11所示,$\triangle ABC$中,点P是角平分线AD、BE的交点。
求证：点P在$\angle C$的平分线上。

答案：
如图，过点 P 作 $PM \perp AB$，$PN \perp BC$，$PQ \perp AC$，垂足分别为 M、N、Q。$\because$ 点 P 在 $\angle BAC$ 的平分线 AD 上，$\therefore PM = PQ$。$\because$ 点 P 在 $\angle ABC$ 的平分线 BE 上，$\therefore PM = PN$。$\therefore PQ = PN$，$\therefore$ 点 P 在 $\angle C$ 的平分线上。

15. 已知：如图12所示,$\angle B= \angle C= 90^{\circ }$,M是BC的中点,DM平分$\angle ADC$。(1)若连接AM,则AM是否平分$\angle DAB$？请证明你的结论。(2)线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由。

答案：

(1) AM 平分 $\angle DAB$。
证明：过点 M 作 $ME \perp AD$，垂足为 E。
$\because DM$ 平分 $\angle ADC$，
$MC \perp CD$，$ME \perp AD$，
$\therefore ME = MC$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又 $\because MC = MB$，$\therefore ME = MB$ 。
$\because MB \perp AB$，$ME \perp AD$，
$\therefore AM$ 平分 $\angle DAB$（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）。
(2) $AM \perp DM$，理由如下：
$\because \angle B = \angle C = 90^{\circ}$，$\therefore CD // AB$（垂直于同一条直线的两条直线平行）。$\therefore \angle CDA + \angle DAB = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。又 $\because \angle 1 = \frac{1}{2}\angle CDA$，$\angle 3 = \frac{1}{2}\angle DAB$（角平分线定义）。$\therefore 2\angle 1 + 2\angle 3 = 180^{\circ}$，$\therefore \angle 1 + \angle 3 = 90^{\circ}$，$\therefore \angle AMD = 90^{\circ}$。即 $AM \perp DM$。

16. (1)如图13所示,已知$\triangle ABC$,$\angle C= 90^{\circ }$。按下列语句作图(尺规作图,保留作图痕迹)：
①作$\angle B$的平分线,与AC相交于点D；②在AB边上取一点E,使$BE= BC$；③连接ED。
(2)根据所作图形,写出一组相等的线段和一组相等的锐角。(不包括$BE= BC$,$\angle EBD= \angle CBD$)

答案：

(1)
(2) $DE = DC$，$\angle BDE = \angle BDC$ 或 $\angle ADE = \angle ABC$。