《2025年暑假作业八年级数学北师大版兰州大学出版社》

14. 如图7所示,在平面直角坐标系中,已知$\triangle ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1)$,$B(4,1)$,$C(3,3)$.
(1)将$\triangle ABC向下平移5个单位后得到\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$,请画出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；
(2)将$\triangle ABC绕原点O逆时针旋转90^{\circ}后得到\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$,请画出$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$；
(3)判断以$O$、$A_{1}$、$B$为顶点的三角形的形状.(无须说明理由)

答案： 【解析】：
(1)利用平移的性质得出对应点位置，顺次连接即可。
(2)利用旋转的性质得出对应点位置，顺次连接即可。
(3)利用勾股定理的逆定理得出三角形的形状。
本题考查了图形的平移与旋转以及勾股定理的逆定理。
【答案】：
(1)将$\bigtriangleup ABC$向下平移$5$个单位后得到$\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$，
对应点坐标为：$A_1(1, - 4)$，$B_1(4, - 4)$，$C_1(3, - 2)$，
顺次连接$A_1B_1$，$B_1C_1$，$C_1A_1$，
$\therefore \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$为所求作的三角形；
图略。
(2)将$\bigtriangleup ABC$绕原点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$后得到$\bigtriangleup A_{2}B_{2}C_{2}$，
对应点坐标为：$A_2( - 1,1)$，$B_2( - 4,4)$，$C_2( - 3,3)$，
顺次连接$A_2B_2$，$B_2C_2$，$C_2A_2$，
$\therefore \bigtriangleup A_{2}B_{2}C_{2}$为所求作的三角形；
图略。
(3)$\because O(0,0)$，$A_{1}(1, - 4)$，$B(4,1)$，
$\therefore OA_{1} = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{17}$，
$OB = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$，
$A_{1}B = \sqrt{(4 - 1)^2 + (1 + 4)^2} = \sqrt{34}$，
$\therefore OA_{1} = OB$，
$OA_{1}^2 + OB^2 = 17 + 17 = 34$，
$A_{1}B^2 = (\sqrt{34})^2 = 34$，
$\therefore OA_{1}^2 + OB^2 = A_{1}B^2$，
$\therefore \bigtriangleup OA_{1}B$是等腰直角三角形。

15. 如图所示,网格中每个小正方形的边长为$1$,请你认真观察图(1)中的三个网格中阴影部分构成的图案,解答下列问题：

(1)这三个图案都具有以下共同特征：都是中心对称图形,都不是轴对称图形.
(2)请在图(2)中设计出一个面积为$4$,且具备上述特征的图案,要求所画图案不能与图(1)中所给出的图案相同.
（在图(2)的网格中，以网格中心为对称点，画出一个由4个小正方形组成的中心对称图形，例如：在中心小正方形的左上角、右上角、右下角、左下角分别选取一个小正方形涂黑，形成十字交叉外的对称图案）所画图案为由4个小正方形构成的中心对称图形，且不存在对称轴。

答案：
(1) 中心, 轴;
(2) （在图
(2)的网格中，以网格中心为对称点，画出一个由4个小正方形组成的中心对称图形，例如：在中心小正方形的左上角、右上角、右下角、左下角分别选取一个小正方形涂黑，形成十字交叉外的对称图案，此处因无法直接绘图，故描述图案特征）所画图案为由4个小正方形构成的中心对称图形，且不存在对称轴。