《2025年百年学典快乐假期暑假作业八年级综合北师大版》

19. 若两个分式$P$与$Q$的和为常数$m$，且$m$为正整数，则称$P$与$Q$互为“完美分式”，常数$m$称为“完美值”，如分式$P=\frac {x}{x+1}$，$Q=\frac {1}{x+1}$，$P + Q=\frac {x+1}{x+1}=1$，则$P$与$Q$互为“完美分式”，“完美值”$m = 1$.
（1）已知分式$A=\frac {x-1}{x-4}$，$B=\frac {x-7}{x-4}$，判断$A$与$B$是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”$m$；
（2）已知分式$C=\frac {3x-4}{x-2}$，$D=\frac {E}{x^{2}-4}$，若$C$与$D$互为“完美分式”，且“完美值”$m = 3$，其中$x$为正整数，分式$D$的值为正整数.
①求$E$所代表的代数式；
②求$x$的值.
【答案】：
（1）$A$与$B$互为“完美分式”，“完美值”$m = $2；
（2）①$E=$$-2x - 4$；②$x = $1.

答案： 【解析】：
（1）要判断$A$与$B$是否互为“完美分式”，只需计算$A + B$，看其结果是否为常数$m$（$m$为正整数）。
已知$A=\frac{x - 1}{x - 4}$，$B=\frac{x - 7}{x - 4}$，则$A + B=\frac{x - 1}{x - 4}+\frac{x - 7}{x - 4}=\frac{(x - 1)+(x - 7)}{x - 4}=\frac{x - 1 + x - 7}{x - 4}=\frac{2x - 8}{x - 4}=\frac{2(x - 4)}{x - 4}=2$。
因为$2$是正整数，所以$A$与$B$互为“完美分式”，“完美值”$m = 2$。
（2）①已知$C=\frac{3x - 4}{x - 2}$，$D=\frac{E}{x^{2}-4}$，且$x^{2}-4=(x + 2)(x - 2)$，$C$与$D$互为“完美分式”，“完美值”$m = 3$，即$C + D = 3$。
$\frac{3x - 4}{x - 2}+\frac{E}{x^{2}-4}=3$，给$\frac{3x - 4}{x - 2}$的分子分母同时乘以$(x + 2)$进行通分可得$\frac{(3x - 4)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}+\frac{E}{(x + 2)(x - 2)}=3$，即$\frac{(3x - 4)(x + 2)+E}{(x + 2)(x - 2)}=3$。
等式两边同时乘以$(x + 2)(x - 2)$得$(3x - 4)(x + 2)+E = 3(x^{2}-4)$，展开$(3x - 4)(x + 2)$得$3x^{2}+6x - 4x - 8=3x^{2}+2x - 8$，展开$3(x^{2}-4)$得$3x^{2}-12$。
则$3x^{2}+2x - 8+E = 3x^{2}-12$，移项可得$E = 3x^{2}-12-(3x^{2}+2x - 8)=3x^{2}-12 - 3x^{2}-2x + 8=-2x - 4$。
②由①可知$D=\frac{-2x - 4}{x^{2}-4}=\frac{-2(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{-2}{x - 2}$（$x\neq - 2$）。
因为分式$D$的值为正整数，且$x$为正整数，所以$x - 2$是$-2$的负因数，$-2$的负因数为$-1$，$-2$。
当$x - 2=-1$时，$x = 1$；当$x - 2=-2$时，$x = 0$（不符合$x$为正整数，舍去）。
所以$x$的值为$1$。
【答案】：
（1）$A$与$B$互为“完美分式”，“完美值”$m = 2$；
（2）①$E=-2x - 4$；②$x = 1$。

20. 阅读并回答下列问题：
通过观察，发现方程$x+\frac {1}{x}=2+\frac {1}{2}$的解是$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac {1}{2}$；$x+\frac {1}{x}=3+\frac {1}{3}$的解是$x_{1}=3$，$x_{2}=\frac {1}{3}$；$x+\frac {1}{x}=4+\frac {1}{4}$的解是$x_{1}=4$，$x_{2}=\frac {1}{4}$；…
（1）观察上述方程的解，猜想关于$x$的方程$x+\frac {1}{x}=5+\frac {1}{5}$的解是____$x_{1}=5$，$x_{2}=\frac{1}{5}$；
（2）根据上面的规律，猜想关于$x$的方程$x+\frac {1}{x}=c+\frac {1}{c}$的解是____$x_{1}=c$，$x_{2}=\frac{1}{c}$；
（3）根据上面的规律，可将关于$x$的方程变形为$x - 1+\frac {1}{x-1}=a - 1+\frac {1}{a-1}$，方程的解是____$x_{1}=a$，$x_{2}=\frac{a}{a - 1}$，解决这个问题的数学思想是____换元思想.

答案： 【解析】：
1. 对于（1）：
观察已知的方程$x+\frac{1}{x}=2 + \frac{1}{2}$的解是$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{1}{2}$；$x+\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3}$的解是$x_{1}=3$，$x_{2}=\frac{1}{3}$；$x+\frac{1}{x}=4+\frac{1}{4}$的解是$x_{1}=4$，$x_{2}=\frac{1}{4}$。
可以发现规律：方程$x+\frac{1}{x}=m+\frac{1}{m}$（$m$为常数且$m\neq0$）的解为$x_{1}=m$，$x_{2}=\frac{1}{m}$。
所以对于方程$x+\frac{1}{x}=5+\frac{1}{5}$，其解是$x_{1}=5$，$x_{2}=\frac{1}{5}$。
2. 对于（2）：
由上述规律可直接得出，关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$（$c$为常数且$c\neq0$）的解是$x_{1}=c$，$x_{2}=\frac{1}{c}$。
3. 对于（3）：
令$y = x - 1$，$b=a - 1$，则方程$x - 1+\frac{1}{x - 1}=a - 1+\frac{1}{a - 1}$可变形为$y+\frac{1}{y}=b+\frac{1}{b}$。
根据前面总结的规律，方程$y+\frac{1}{y}=b+\frac{1}{b}$的解为$y_{1}=b$，$y_{2}=\frac{1}{b}$。
把$y = x - 1$，$b=a - 1$代回，可得$x-1=a - 1$或$x - 1=\frac{1}{a - 1}$。
由$x-1=a - 1$，解得$x_{1}=a$；由$x - 1=\frac{1}{a - 1}$，解得$x_{2}=\frac{1}{a - 1}+1=\frac{a}{a - 1}$。
这里把$x - 1$看成一个整体，通过换元的方法将复杂的方程转化为我们熟悉的形式，运用的数学思想是换元思想。
【答案】：（1）$x_{1}=5$，$x_{2}=\frac{1}{5}$；（2）$x_{1}=c$，$x_{2}=\frac{1}{c}$；（3）$x_{1}=a$，$x_{2}=\frac{a}{a - 1}$；换元思想

21. 为了增强体质，某学校组织徒步活动. 两小组都走完了3km的绿道，第一小组的速度是第二小组速度的1.2倍，第一小组比第二小组提早$\frac {1}{6}h$到达目的地.
（1）求两个小组的速度分别是多少？
（2）假设绿道长为$a$km，第一小组走完绿道需要$m(m ＞ 1)h$，第二小组走完绿道的时间是第一小组时间的1.2倍还要多$\frac {1}{2}h$，是否存在$m$，使得第一小组的速度是第二小组速度的2倍？请说明理由.

答案： 【解析】：
（1）设第二小组的速度为$x$千米/小时，因为第一小组的速度是第二小组速度的$1.2$倍，则第一小组的速度为$1.2x$千米/小时。
根据时间$=$路程$\div$速度，第一小组走完$3$千米所用时间为$\frac{3}{1.2x}$小时，第二小组走完$3$千米所用时间为$\frac{3}{x}$小时。
已知第一小组比第二小组提早$\frac{1}{6}$小时到达目的地，可列方程：
$\frac{3}{x}-\frac{3}{1.2x}=\frac{1}{6}$
方程两边同乘$1.2x$去分母得：
$3\times1.2 - 3 = 1.2x\times\frac{1}{6}$
$3.6 - 3 = 0.2x$
$0.6 = 0.2x$
解得$x = 3$。
经检验，当$x = 3$时，$1.2x=1.2\times3 = 3.6\neq0$，$x = 3$是原分式方程的解。
所以第一小组的速度是$1.2\times3 = 3.6$千米/小时，第二小组的速度是$3$千米/小时。
（2）第一小组走完绿道需要$m(m\gt1)$小时，根据速度$=$路程$\div$时间，第一小组的速度为$\frac{a}{m}$千米/小时。
第二小组走完绿道的时间是$(1.2m+\frac{1}{2})$小时，则第二小组的速度为$\frac{a}{1.2m + \frac{1}{2}}$千米/小时。
若第一小组的速度是第二小组速度的$2$倍，则$\frac{a}{m}=2\times\frac{a}{1.2m+\frac{1}{2}}$。
因为$a\neq0$（绿道长度不为$0$），方程两边同时除以$a$得：
$\frac{1}{m}=\frac{2}{1.2m+\frac{1}{2}}$
交叉相乘得：$1.2m+\frac{1}{2}=2m$
移项得：$2m - 1.2m=\frac{1}{2}$
$0.8m=\frac{1}{2}$
$m=\frac{1}{2}\div0.8=\frac{1}{2}\div\frac{4}{5}=\frac{1}{2}\times\frac{5}{4}=\frac{5}{8}$。
因为$m=\frac{5}{8}\lt1$，不满足$m\gt1$的条件，所以不存在这样的$m$，使得第一小组的速度是第二小组速度的$2$倍。
【答案】：（1）第一小组的速度是$3.6$千米/小时，第二小组的速度是$3$千米/小时；（2）不存在，理由：由题意列出方程解得$m = \frac{5}{8}\lt1$，不满足$m\gt1$的条件。