《2025年百年学典快乐假期暑假作业八年级综合北师大版》

14. 某地为美化环境，原计划植树6000棵. 由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务. 设原计划每天植树$x$棵，依据题意可列方程$\dfrac{6000}{x}-\dfrac{6000}{(1 + 25\%)x}=3$.

答案： $\dfrac{6000}{x}-\dfrac{6000}{(1 + 25\%)x}=3$

15. 观察下列分式：$\frac {2}{x},-\frac {5}{x^{2}},\frac {10}{x^{3}},-\frac {17}{x^{4}},\frac {26}{x^{5}},...$，按此规律第10个分式是$-\frac{101}{x^{10}}$.

答案： $-\frac{101}{x^{10}}$

16. 解方程：
（1）$\frac {x}{x-1}-1=\frac {3}{(x-1)(x+2)}$；无解
（2）$\frac {3}{2x}=\frac {2}{x+1}$；$x = 3$
（3）$\frac {1}{x-3}-2=\frac {3x}{3-x}$.$x=-7$

答案： 【解析】：
（1）
方程$\frac {x}{x - 1}-1=\frac {3}{(x - 1)(x + 2)}$两边同乘$(x - 1)(x + 2)$去分母得：
$x(x + 2)-(x - 1)(x + 2)=3$
展开括号：$x^{2}+2x-(x^{2}+2x - x - 2)=3$
$x^{2}+2x - x^{2}-2x + x + 2 = 3$
合并同类项得：$x+2 = 3$
移项得：$x=3 - 2$
解得：$x = 1$
检验：当$x = 1$时，$(x - 1)(x + 2)=(1 - 1)(1 + 2)=0$，所以$x = 1$是增根，原方程无解。
（2）
方程$\frac {3}{2x}=\frac {2}{x + 1}$两边同乘$2x(x + 1)$去分母得：
$3(x + 1)=2\times2x$
展开括号：$3x+3 = 4x$
移项得：$4x-3x = 3$
解得：$x = 3$
检验：当$x = 3$时，$2x(x + 1)=2\times3\times(3 + 1)=24\neq0$，所以$x = 3$是原方程的解。
（3）
方程$\frac {1}{x - 3}-2=\frac {3x}{3 - x}$可变形为$\frac {1}{x - 3}-2=-\frac {3x}{x - 3}$
两边同乘$x - 3$去分母得：
$1-2(x - 3)=-3x$
展开括号：$1-2x + 6=-3x$
移项得：$-2x + 3x=-1 - 6$
合并同类项得：$x=-7$
检验：当$x=-7$时，$x - 3=-7 - 3=-10\neq0$，所以$x=-7$是原方程的解。
【答案】：（1）无解；（2）$x = 3$；（3）$x=-7$

17. 杨梅是某市特产水果之一，素有“初疑一颗值千金”之美誉！某杨梅园的杨梅除了直接销售到市区外，还可以让市民去园区采摘. 已知杨梅在市区和园区的销售价格分别是15元/千克和10元/千克，该杨梅园今年六月第一周一共销售了1000千克，销售收入12000元.
（1）该杨梅园今年六月第一周市区和园区分别销售了多少千克杨梅？
（2）为了促销，该杨梅园决定六月第二周将市区和园区销售价格均以相同折扣进行销售，小方发现用3240元购买市区的质量比用2430元购买园区的质量少30千克，求本次活动对市区和园区进行几折销售？
（3）在（2）的促销条件下，杨梅园想第二周市区和园区杨梅的平均售价和第一周的市区和园区平均售价相等. 若第二周杨梅在市区的销量为$a$千克，园区的销量为$b$千克，请直接写出$a$与$b$的数量关系.

答案： 【解析】：
（1）设该杨梅园今年六月第一周市区销售了$x$千克杨梅，园区销售了$y$千克杨梅。
根据“第一周一共销售了$1000$千克，销售收入$12000$元”可列方程组：
$\begin{cases}x + y = 1000\\15x + 10y = 12000\end{cases}$
由$x + y = 1000$可得$y = 1000 - x$，将其代入$15x + 10y = 12000$中得：
$15x + 10(1000 - x)=12000$
$15x + 10000 - 10x = 12000$
$5x = 12000 - 10000$
$5x = 2000$
$x = 400$
把$x = 400$代入$y = 1000 - x$得$y = 1000 - 400 = 600$。
所以该杨梅园今年六月第一周市区销售了$400$千克杨梅，园区销售了$600$千克杨梅。
（2）设本次活动对市区和园区进行$m$折销售。
则市区的销售价格为$15\times0.1m = 1.5m$元/千克，园区的销售价格为$10\times0.1m = m$元/千克。
根据“用$3240$元购买市区的质量比用$2430$元购买园区的质量少$30$千克”可列方程：
$\dfrac{2430}{m}-\dfrac{3240}{1.5m}=30$
方程两边同时乘以$1.5m$去分母得：
$2430\times1.5 - 3240 = 30\times1.5m$
$3645 - 3240 = 45m$
$405 = 45m$
$m = 9$
经检验，$m = 9$是原方程的解，且符合题意。
所以本次活动对市区和园区进行九折销售。
（3）第一周市区和园区平均售价为$\dfrac{12000}{1000}=12$元/千克。
第二周市区的销售价格为$15\times0.9 = 13.5$元/千克，园区的销售价格为$10\times0.9 = 9$元/千克。
根据“第二周市区和园区杨梅的平均售价和第一周的市区和园区平均售价相等”可得：
$\dfrac{13.5a + 9b}{a + b}=12$
$13.5a + 9b = 12(a + b)$
$13.5a + 9b = 12a + 12b$
$13.5a - 12a = 12b - 9b$
$1.5a = 3b$
$a = 2b$
【答案】：（1）市区销售了$400$千克，园区销售了$600$千克；（2）九折；（3）$a = 2b$

18. 已知关于$x$的分式方程$\frac {2}{x-1}+\frac {mx}{(x-1)(x+2)}=\frac {1}{x+2}$.
（1）若方程的增根为$x = 1$，求$m$的值；$-6$
（2）若方程有增根，求$m$的值；$-6$或$\frac{3}{2}$
（3）若方程无解，求$m$的值.$-1$或$-6$或$\frac{3}{2}$

答案： 【解析】：
本题可先将分式方程化为整式方程，再结合增根的性质以及方程无解的情况来求解$m$的值。
- **步骤一：将分式方程化为整式方程**
给方程$\frac {2}{x - 1} + \frac {mx}{(x - 1)(x + 2)} = \frac {1}{x + 2}$两边同时乘以$(x - 1)(x + 2)$去分母得：
$2(x + 2) + mx = x - 1$
去括号得：$2x + 4 + mx = x - 1$
移项、合并同类项得：$(m + 1)x = - 5$。
- **步骤二：求解（1）若方程的增根为$x = 1$时$m$的值**
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为$0$的根。
已知增根为$x = 1$，将$x = 1$代入整式方程$(m + 1)x = - 5$中，可得：
$(m + 1)\times1 = - 5$
即$m + 1 = - 5$，解得$m = - 6$。
- **步骤三：求解（2）若方程有增根时$m$的值**
因为原分式方程的分母为$(x - 1)(x + 2)$，所以增根可能为$x = 1$或$x = - 2$。
当$x = 1$时，代入整式方程$(m + 1)x = - 5$，可得$(m + 1)\times1 = - 5$，解得$m = - 6$。
当$x = - 2$时，代入整式方程$(m + 1)x = - 5$，可得$(m + 1)\times(-2) = - 5$，即$-2m - 2 = - 5$，移项可得$-2m = - 5 + 2 = - 3$，解得$m = \frac{3}{2}$。
- **步骤四：求解（3）若方程无解时$m$的值**
方程无解有两种情况：一是由分式方程化成的整式方程无解；二是由分式方程化成的整式方程的解是原分式方程的增根。
当整式方程$(m + 1)x = - 5$无解时，即$m + 1 = 0$，解得$m = - 1$。
当整式方程的解是原分式方程的增根时，由（2）可知增根为$x = 1$或$x = - 2$，对应的$m$值为$- 6$或$\frac{3}{2}$。
综上，（1）中$m$的值为$- 6$；（2）中$m$的值为$- 6$或$\frac{3}{2}$；（3）中$m$的值为$- 1$或$- 6$或$\frac{3}{2}$。
【答案】：（1）$-6$；（2）$-6$或$\frac{3}{2}$；（3）$-1$或$-6$或$\frac{3}{2}$