《2025年百年学典快乐假期暑假作业八年级综合北师大版》

17. 如右下图所示，在平面直角坐标系中，$\triangle AOB$为直角三角形，点$A(1,0)$，$OB=2$，将$\triangle AOB$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$后与$\triangle ACD$重合，点$O$，$B$分别与点$C$，$D$对应，求点$D$的坐标.

$(2,1)$

答案： 【解析】：
- 过点$D$作$DE\perp x$轴于点$E$。
- 因为$\triangle AOB$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$后与$\triangle ACD$重合，所以$AC = AO$，$AD = AB$，$\angle CAD=\angle OAB = 90^{\circ}$，则$\angle CAO+\angle OAD=\angle DAE+\angle OAD = 90^{\circ}$，所以$\angle CAO=\angle DAE$。
- 又因为$\angle ACO=\angle AED = 90^{\circ}$，所以$\triangle ACO\cong\triangle AED$（$AAS$）。
- 已知$A(1,0)$，则$OA = 1$，$OB = 2$，在$Rt\triangle AOB$中，根据勾股定理$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$。
- 由于$\triangle AOB$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$，$OA = 1$，所以$AC = 1$，$CD = OB = 2$。
- 因为$\triangle ACO\cong\triangle AED$，所以$AE = AC = 1$，$DE = OC$。
- 又因为$OC = OA = 1$，所以$DE = 1$，$OE=OA + AE=1 + 1=2$。
【答案】：$(2,1)$

18. 已知$\triangle ABC$在平面直角坐标系中的位置如下图所示，其中每一个小方格都是边长为$1$个单位长度的正方形.
（1）将$\triangle ABC$先向右平移$4$个单位长度，再向下平移$3$个单位长度，得到$\triangle A'B'C'$，请在坐标系中作出$\triangle A'B'C'$；
（2）求四边形$AA'C'C$的面积.

（1）（按上述坐标找点连线作图）；
（2）20

答案： 【解析】：
（1）根据平移规律：点$A(-2,3)$先向右平移$4$个单位长度，再向下平移$3$个单位长度得到$A'(2,0)$；点$B(-4,-2)$先向右平移$4$个单位长度，再向下平移$3$个单位长度得到$B'(0,-5)$；点$C(-1,0)$先向右平移$4$个单位长度，再向下平移$3$个单位长度得到$C'(3,-3)$。然后连接$A'B'$，$B'C'$，$A'C'$，得到$\triangle A'B'C'$。
（2）四边形$AA'C'C$是一个梯形，上底$AA' = \sqrt{(2 - (-2))^{2}+(0 - 3)^{2}}=\sqrt{16 + 9}=5$（也可根据平移性质，平移的距离就是对应点间的距离，水平移动$4$个单位，垂直移动$3$个单位，根据勾股定理$\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$），下底$CC'=\sqrt{(3 - (-1))^{2}+(-3 - 0)^{2}}=\sqrt{16 + 9}=5$，高为$4$（水平平移的距离）。
根据梯形面积公式$S=\dfrac{(a + b)h}{2}$（其中$a$，$b$为上、下底，$h$为高），则$S_{四边形AA'C'C}=\dfrac{(5 + 5)\times4}{2}=20$。
【答案】：
（1）（按上述坐标找点连线作图）；
（2）$20$。

19. 七巧板又称智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它是由七块板组成（如图 1），用这七块板可拼出许多图形（1600 种以上），例如：三角形、平行四边形以及不规则的多边形，它还可以拼出各种人物、动物、建筑等. 请你用七巧板中标号为①②③的三块板如图 2 经过平移、旋转拼出下列图形（相邻两块板之间无空隙，无重叠. 示意图的顶点画在小方块顶点上）.
（1）拼成长方形，在图 3 中画出示意图；
（2）拼成等腰直角三角形，在图 4 中画出示意图.

答案：

20. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：$\triangle ABC$三条边上所有的点到$x$轴的距离最大值叫作$\triangle ABC$的遥值，记作：$w(\triangle ABC)$. 例如：如右下图所示，$\triangle ABC$三条边上所有的点到$x$轴的最大距离是$4$，则$w(\triangle ABC)=4$.
（1）把$\triangle ABC$向右平移$4$个单位长度，再向下平移$5$个单位长度得到$\triangle A'B'C'$，请画出$\triangle A'B'C'$，并求出$w(\triangle A'B'C')=$4；
（2）已知点$D$，$E$的坐标分别为$D(1,-1)$，$E(1,3)$，$S_{\triangle DEP}=2$，$w(\triangle DEP)=4$，求点$P$的坐标为(0,4)，(0,-4)，(2,4)，(2,-4)；
（3）将$\triangle ABC$向下平移$m(m＞0)$个单位长度得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，当$2\leqslant w(\triangle A_{1}B_{1}C_{1})\leqslant 3$时，直接写出$m$的取值范围为1≤m≤2或3≤m≤4.

答案： 【解析】：
 $(1)$ 画出$\triangle A'B'C'$并求$w(\triangle A'B'C')$
已知$A(-1,4)$，$B(-5,3)$，$C(-4,1)$。
根据平移规律“右加左减，上加下减”，将$\triangle ABC$向右平移$4$个单位长度，再向下平移$5$个单位长度，则$A'$的坐标为$(-1 + 4,4 - 5)$，即$A'(3,-1)$；$B'$的坐标为$(-5 + 4,3 - 5)$，即$B'(-1,-2)$；$C'$的坐标为$(-4 + 4,1 - 5)$，即$C'(0,-4)$。
对于$\triangle A'B'C'$，分别计算$A'$，$B'$，$C'$到$x$轴的距离：
$\vert -1\vert = 1$，$\vert -2\vert = 2$，$\vert -4\vert = 4$。
根据遥值的定义，$\triangle A'B'C'$三条边上所有的点到$x$轴的距离最大值是$4$，所以$w(\triangle A'B'C') = 4$。
 $(2)$ 求点$P$的坐标
因为$D(1,-1)$，$E(1,3)$，所以$DE$在直线$x = 1$上，$DE=\vert3 - (-1)\vert = 4$。
设点$P$的坐标为$(x,y)$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，以$DE$为底，$DE$边上的高为$\vert x - 1\vert$，已知$S_{\triangle DEP}=2$，则$\frac{1}{2}\times4\times\vert x - 1\vert = 2$，
即$\vert x - 1\vert = 1$，解得$x = 0$或$x = 2$。
又因为$w(\triangle DEP)=4$，所以$\vert y\vert = 4$，即$y = 4$或$y = -4$。
当$x = 0$，$y = 4$时，$P(0,4)$；当$x = 0$，$y = -4$时，$P(0,-4)$；当$x = 2$，$y = 4$时，$P(2,4)$；当$x = 2$，$y = -4$时，$P(2,-4)$。
 $(3)$ 求$m$的取值范围
已知$A(-1,4)$，$B(-5,3)$，$C(-4,1)$，将$\triangle ABC$向下平移$m(m\gt0)$个单位长度得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，则$A_{1}(-1,4 - m)$，$B_{1}(-5,3 - m)$，$C_{1}(-4,1 - m)$。
当$w(\triangle A_{1}B_{1}C_{1}) = 2$时：
若$4 - m = 2$，则$m = 2$；若$\vert1 - m\vert = 2$，$1 - m=-2$，则$m = 3$。
当$w(\triangle A_{1}B_{1}C_{1}) = 3$时：
若$4 - m = 3$，则$m = 1$；若$\vert1 - m\vert = 3$，$1 - m=-3$，则$m = 4$。
因为$2\leqslant w(\triangle A_{1}B_{1}C_{1})\leqslant 3$，所以$1\leqslant m\leqslant 2$或$3\leqslant m\leqslant 4$。
【答案】：
$(1)$ 作图根据坐标描点连接即可，$w(\triangle A'B'C') = \boldsymbol{4}$；
$(2)$ 点$P$的坐标为$\boldsymbol{(0,4)}$，$\boldsymbol{(0,-4)}$，$\boldsymbol{(2,4)}$，$\boldsymbol{(2,-4)}$；
$(3)$ $m$的取值范围是$\boldsymbol{1\leqslant m\leqslant 2}$或$\boldsymbol{3\leqslant m\leqslant 4}$。