《2025年百年学典快乐假期暑假作业八年级综合北师大版》

18. 定义新运算：对于任意实数 $ a $，$ b $，都有 $ a \oplus b = a ( a - b ) + 1 $，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算。比如：$ 2 \oplus 5 = 2 × ( 2 - 5 ) + 1 = - 5 $。
（1）求 $ ( - 2 ) \oplus 3 $ 的值；11
（2）若 $ 3 \oplus x $ 的值小于 13，求 $ x $ 的取值范围$x\gt - 1$，并在数轴上表示出来在数轴上找到$-1$点，画空心圆圈，向右画线。

答案： 【解析】：
（1）根据新运算的定义$a\oplus b = a(a - b)+1$，求$( - 2)\oplus 3$的值，只需将$a = - 2$，$b = 3$代入该式进行计算。
把$a = - 2$，$b = 3$代入$a\oplus b = a(a - b)+1$可得：
$( - 2)\oplus 3=(-2)\times(( - 2)-3)+1$
先计算括号内的值：$( - 2)-3=-5$；
再计算乘法：$(-2)\times(-5) = 10$；
最后计算加法：$10 + 1 = 11$。
（2）首先根据新运算的定义求出$3\oplus x$的表达式，再根据$3\oplus x$的值小于$13$列出不等式，最后解不等式并在数轴上表示其解集。
- **步骤一：求出$3\oplus x$的表达式**
将$a = 3$，$b = x$代入$a\oplus b = a(a - b)+1$可得：
$3\oplus x = 3\times(3 - x)+1$
去括号得：$3\oplus x = 9 - 3x + 1 = 10 - 3x$。
- **步骤二：根据$3\oplus x$的值小于$13$列出不等式并求解**
因为$3\oplus x$的值小于$13$，所以$10 - 3x\lt 13$。
移项可得：$-3x\lt 13 - 10$，即$-3x\lt 3$。
不等式两边同时除以$-3$，根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，可得：$x\gt - 1$。
- **步骤三：在数轴上表示$x$的取值范围**
在数轴上找到$-1$这个点，画一个空心圆圈（因为$x\gt - 1$不包含$-1$这个值），然后从空心圆圈处向右画一条线，表示$x$的取值范围是大于$-1$的所有实数。
【答案】：（1）$11$；（2）$x\gt - 1$，数轴表示：在数轴上找到$-1$点，画空心圆圈，向右画线。

19. 阅读下面解题过程，再解题。
已知 $ a ＞ b $，试比较 $ - 2023 a + 1 $ 与 $ - 2023 b + 1 $ 的大小。
解：因为 $ a ＞ b $， ①
所以 $ - 2023 a ＞ - 2023 b $， ②
故 $ - 2023 a + 1 ＞ - 2023 b + 1 $。 ③
问：（1）上述解题过程中，从第②步开始出现错误。
（2）错误的原因是什么？不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向应该改变，而本题没有改变
（3）请写出正确的解题过程。因为$a＞b$，所以$-2023a＜ - 2023b$，故$-2023a + 1＜ - 2023b + 1$。

答案： 【解析】：
（1）根据不等式的性质，不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。在已知$a＞b$的情况下，两边同时乘以$-2023$，不等号方向应改变，而原答案第②步没有改变不等号方向，所以从第②步开始出现错误。
（2）错误原因就是不等式两边同时乘以同一个负数$-2023$时，没有改变不等号的方向。
（3）正确解题过程：因为$a＞b$，根据不等式性质，不等式两边同时乘以同一个负数$-2023$，不等号方向改变，所以$-2023a＜ - 2023b$；再在不等式两边同时加$1$，不等号方向不变，故$-2023a + 1＜ - 2023b + 1$。
【答案】：（1）②；（2）不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向应该改变，而本题没有改变；（3）因为$a＞b$，所以$-2023a＜ - 2023b$，故$-2023a + 1＜ - 2023b + 1$。

20. 阅读下列材料，解决问题：
【问题背景】
小明在学习完不等式的性质之后，思考：“如何利用不等式的性质 1 和性质 2 证明不等式的性质 3 呢？”
在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式：
①已知：$ a ＞ b $，$ c ＜ 0 $，求证：$ a c ＜ b c $。
②已知：$ a ＞ b $，$ c ＜ 0 $，求证：$ \frac { a } { c } ＜ \frac { b } { c } $。
【问题探究】
（1）针对①，小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据：
$ \because c ＜ 0 $，即 $ c $ 是一个负数，
$ \therefore c $ 的相反数是正数，即 $ - c ＞ 0 $，
$ \because a ＞ b $，
$ \therefore a \cdot ( - c ) ＞ b \cdot ( - c ) $
（依据：不等式的性质 2），
即 $ - a c ＞ - b c $，
不等式的两端同时加 $ ( a c + b c ) $ 可得
$ - a c + ( a c + b c ) ＞ - b c + ( a c + b c ) $
（依据：不等式的性质 1），
合并同类项可得 $ b c ＞ a c $，
即 $ a c ＜ b c $ 得证。
（2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明。
证明：$\because c ＜ 0$，即$c$是一个负数，
$\therefore c$的倒数的相反数是正数，即$-\frac{1}{c}＞ 0$，
$\because a ＞ b$，
$\therefore a\cdot(-\frac{1}{c}) ＞ b\cdot(-\frac{1}{c})$（依据：不等式的性质 2），
即$-\frac{a}{c} ＞ -\frac{b}{c}$，
不等式的两端同时加$(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})$可得
$-\frac{a}{c}+(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}) ＞ -\frac{b}{c}+(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})$（依据：不等式的性质 1），
合并同类项可得$\frac{b}{c} ＞ \frac{a}{c}$，
即$\frac{a}{c} ＜ \frac{b}{c}$得证。

答案： 【解析】：
（1）对于“$\because a ＞ b$，$\therefore a \cdot ( - c ) ＞ b \cdot ( - c )$”，因为$-c＞0$，根据不等式的性质 2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，所以这里的依据是不等式的性质 2；
对于“不等式的两端同时加$( a c + b c )$可得$- a c + ( a c + b c ) ＞ - b c + ( a c + b c )$”，根据不等式的性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，所以这里的依据是不等式的性质 1。
（2）参考（1）的方法来证明$\frac{a}{c}＜\frac{b}{c}$。因为$c＜0$，所以$\frac{1}{c}$是负数，它的相反数$-\frac{1}{c}＞0$，再结合$a ＞ b$，利用不等式性质 2 得到$a\cdot(-\frac{1}{c})＞b\cdot(-\frac{1}{c})$，然后通过变形得到$\frac{a}{c}＜\frac{b}{c}$。
【答案】：
（1）不等式的性质 2；不等式的性质 1
（2）证明：$\because c ＜ 0$，即$c$是一个负数，
$\therefore c$的倒数的相反数是正数，即$-\frac{1}{c}＞ 0$，
$\because a ＞ b$，
$\therefore a\cdot(-\frac{1}{c}) ＞ b\cdot(-\frac{1}{c})$（依据：不等式的性质 2），
即$-\frac{a}{c} ＞ -\frac{b}{c}$，
不等式的两端同时加$(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})$可得
$-\frac{a}{c}+(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}) ＞ -\frac{b}{c}+(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})$（依据：不等式的性质 1），
合并同类项可得$\frac{b}{c} ＞ \frac{a}{c}$，
即$\frac{a}{c} ＜ \frac{b}{c}$得证。