《2025年百年学典快乐假期暑假作业八年级综合北师大版》

12. 若代数式 $ \frac{2}{x - 1} $ 的值为 $ 1 $，则 $ x = $3.

答案： $3$

13. 若 $ abc = 1 $，$ a + b + c = 2 $，$ a^{2}+b^{2}+c^{2}=3 $，则 $ \frac{1}{ab + c - 1}+\frac{1}{bc + a - 1}+\frac{1}{ac + b - 1}= $$-\frac{2}{3}$.

答案： $-\frac{2}{3}$

14. 若 $ \frac{3x - 4}{(x - 1)(x - 2)}=\frac{k}{x - 1}+\frac{2k}{x - 2} $，则 $ k = $1.

答案： $1$

15. 若关于 $ x $ 的方程 $ \frac{ax}{x - 2}=\frac{4}{x - 2}+1 $ 无解，则 $ a $ 的值是1或2.

答案： $1$或$2$

16. 若分式 $ \frac{3x + 5}{x - 1} $ 无意义，当 $ \frac{5}{3m - 2x}-\frac{1}{2m - x}=0 $ 时，则 $ m = $$\frac{3}{7}$.

答案： $\frac{3}{7}$

17. 分式 $ \frac{2xy}{(x + y)^{2}} $ 和 $ \frac{x}{x^{2}-y^{2}} $ 的最简公分母是$(x + y)^{2}(x - y)$.

答案： $(x + y)^{2}(x - y)$

18. 化简 $ \frac{1}{a - 1}÷\frac{a + 2}{a^{2}-2a + 1}-\frac{a}{a + 2}=$$-\frac{1}{a + 2}$.

答案： $-\frac{1}{a + 2}$

19. 已知 $ \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}\neq0 $，则分式 $ \frac{3x - 2y + z}{5x - 2y + 3z} $ 的值为$\frac{5}{19}$.

答案： $\frac{5}{19}$

20. 解方程：
（1）$ \frac{2x + 2}{x}-\frac{x + 2}{x - 2}=\frac{x^{2}-2}{x^{2}-2x} $；$x = -\frac{1}{2}$
（2）$ \frac{3}{x^{2}-3x}+\frac{x - 1}{x - 3}=1 $。$x = -\frac{3}{2}$

答案： 【解析】：
（1）
首先，给方程$\frac{2x + 2}{x}-\frac{x + 2}{x - 2}=\frac{x^{2}-2}{x^{2}-2x}$两边同乘$x(x - 2)$（$x\neq0$且$x\neq2$）去分母得：
$(2x + 2)(x - 2)-x(x + 2)=x^{2}-2$。
然后，展开括号：
$2x^{2}-4x+2x - 4-(x^{2}+2x)=x^{2}-2$，即$2x^{2}-4x + 2x-4 - x^{2}-2x=x^{2}-2$。
接着，合并同类项：
$2x^{2}-x^{2}-x^{2}-4x + 2x-2x=-2 + 4$，得到$-4x=2$。
最后，系数化为$1$得：$x=-\frac{1}{2}$。
检验：当$x = -\frac{1}{2}$时，$x(x - 2)=-\frac{1}{2}\times(-\frac{1}{2}-2)=-\frac{1}{2}\times(-\frac{5}{2})=\frac{5}{4}\neq0$，所以$x = -\frac{1}{2}$是原方程的解。
（2）
先将原方程$\frac{3}{x^{2}-3x}+\frac{x - 1}{x - 3}=1$变形，$x^{2}-3x=x(x - 3)$，方程两边同乘$x(x - 3)$（$x\neq0$且$x\neq3$）去分母得：
$3+(x - 1)x=x(x - 3)$。
展开括号：
$3+x^{2}-x=x^{2}-3x$。
移项：
$x^{2}-x^{2}-x + 3x=-3$。
合并同类项：
$2x=-3$。
系数化为$1$得：$x=-\frac{3}{2}$。
检验：当$x = -\frac{3}{2}$时，$x(x - 3)=-\frac{3}{2}\times(-\frac{3}{2}-3)=-\frac{3}{2}\times(-\frac{9}{2})=\frac{27}{4}\neq0$，所以$x = -\frac{3}{2}$是原方程的解。
【答案】：（1）$x = -\frac{1}{2}$；（2）$x = -\frac{3}{2}$

21. 先化简 $ (\frac{x - 1}{x - 2}-\frac{x + 2}{x})\div\frac{4 - x}{x^{2}-4x + 4} $，再从 $ -2 $，$ 0 $，$ 2 $，$ 4 $ 中选取一个合适的数作为 $ x $ 的值代入求值.

答案： 【解析】：
本题可先对原式进行化简，再根据分式有意义的条件选取合适的$x$值代入化简后的式子求值。
- **步骤一：化简原式**
**对括号内的式子进行通分：**
$\frac{x - 1}{x - 2}-\frac{x + 2}{x}=\frac{x(x - 1)}{x(x - 2)}-\frac{(x + 2)(x - 2)}{x(x - 2)}$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$对上式进一步化简可得：
$\frac{x(x - 1)}{x(x - 2)}-\frac{(x + 2)(x - 2)}{x(x - 2)}=\frac{x(x - 1)-(x^2 - 4)}{x(x - 2)}=\frac{x^2 - x - x^2 + 4}{x(x - 2)}=\frac{4 - x}{x(x - 2)}$
**将除法转化为乘法并化简：**
$(\frac{x - 1}{x - 2}-\frac{x + 2}{x})\div\frac{4 - x}{x^{2}-4x + 4}=\frac{4 - x}{x(x - 2)}\times\frac{x^{2}-4x + 4}{4 - x}$
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$x^{2}-4x + 4=(x - 2)^2$，则上式可化为：
$\frac{4 - x}{x(x - 2)}\times\frac{(x - 2)^2}{4 - x}=\frac{x - 2}{x}$
- **步骤二：确定$x$的取值范围**
要使原式有意义，则分母不能为$0$，即$x\neq0$，$x - 2\neq0$，$4 - x\neq0$，解得$x\neq0$，$x\neq2$，$x\neq4$。
- **步骤三：代入求值**
结合$x$的取值范围，可选取$x = - 2$代入$\frac{x - 2}{x}$，可得：
$\frac{-2 - 2}{-2}=\frac{-4}{-2}=2$
【答案】：化简结果为$\frac{x - 2}{x}$，当$x = - 2$时，值为$2$。

22. 符号“$ \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} $”称为二阶行列式，规定它的运算法则为 $ \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc $，请你根据上述法则求出等式 $ \begin{vmatrix}2&1\frac{1}{1 - x}&\frac{1}{x - 1}\end{vmatrix}=1 $ 中 $ x $ 的值.4

答案： 【解析】：
根据二阶行列式的运算法则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，对于等式$\begin{vmatrix}2&1\\\frac{1}{1 - x}&\frac{1}{x - 1}\end{vmatrix}=1$，可得：
$2\times\frac{1}{x - 1}-1\times\frac{1}{1 - x}=1$。
因为$\frac{1}{1 - x}=-\frac{1}{x - 1}$，所以原方程可化为$\frac{2}{x - 1}+\frac{1}{x - 1}=1$。
方程两边同乘$(x - 1)$去分母得：$2 + 1=x - 1$。
移项可得：$x=2 + 1+1$，解得$x = 4$。
检验：当$x = 4$时，$x - 1=4 - 1 = 3\neq0$，所以$x = 4$是原分式方程的解。
【答案】：$x = 4$