《2025年百年学典快乐假期暑假作业八年级综合北师大版》

1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（C）
A. $ x(a - b) = ax - bx $
B. $ x ^ { 2 } - 1 + y ^ { 2 } = ( x - 1 ) ( x + 1 ) + y ^ { 2 } $
C. $ x ^ { 2 } - 1 = ( x + 1 ) ( x - 1 ) $
D. $ ax + bx + c = x ( a + b ) + c $

答案： C

2. 无论 $ x $，$ y $ 取何值，多项式 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 x - 4 y + 6 $ 的值总是（A）
A. 正数
B. 负数
C. 非负数
D. 无法确定

答案： A

3. 计算：$ \left( 1 - \frac { 1 } { 5 ^ { 2 } } \right) × \left( 1 - \frac { 1 } { 6 ^ { 2 } } \right) × \left( 1 - \frac { 1 } { 7 ^ { 2 } } \right) × \cdots × \left( 1 - \frac { 1 } { 99 ^ { 2 } } \right) × \left( 1 - \frac { 1 } { 100 ^ { 2 } } \right) $ 的结果是（B）
A. $ \frac { 101 } { 200 } $
B. $ \frac { 101 } { 125 } $
C. $ \frac { 101 } { 100 } $
D. $ \frac { 1 } { 100 } $

答案： B

4. 把多项式 $ m ^ { 2 } ( a - 2 ) + m ( 2 - a ) $ 分解因式等于（C）
A. $ ( a - 2 ) ( m ^ { 2 } + m ) $
B. $ ( a - 2 ) ( m ^ { 2 } - m ) $
C. $ m ( a - 2 ) ( m - 1 ) $
D. $ m ( a - 2 ) ( m + 1 ) $

答案： C

5. 将下列多项式分解因式，结果中不含有因式 $ ( m - 2 ) $ 的是（D）
A. $ m ^ { 2 } - 4 $
B. $ ( m + 2 ) ^ { 2 } - 8 ( m + 2 ) + 16 $
C. $ m ^ { 3 } - 4 m ^ { 2 } + 4 m $
D. $ m ^ { 2 } + 2 m $

答案： D

6. 分解因式 $ x ^ { 4 } - 1 $ 得（C）
A. $ ( x ^ { 2 } + 1 ) ( x ^ { 2 } - 1 ) $
B. $ ( x + 1 ) ^ { 2 } ( x - 1 ) ^ { 2 } $
C. $ ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^ { 2 } + 1 ) $
D. $ ( x - 1 ) ( x + 1 ) ^ { 3 } $

答案： C

7. 在边长为 $ a $ 的正方形中挖掉一个边长为 $ b $ 的小正方形 $ ( a ＞ b ) $。把余下的部分剪拼成一个长方形（如下图）。通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（A）

A. $ a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = ( a + b ) ( a - b ) $
B. $ ( a + b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } $
C. $ ( a - b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } $
D. $ a ^ { 2 } - a b = a ( a - b ) $

答案： A

8. 已知 $ a = 2021 x + 2020 $，$ b = 2021 x + 2021 $，$ c = 2021 x + 2022 $，则多项式 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a b - b c - a c $ 的值为（D）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： D

9. 下列各式：① $ - x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $，② $ 3 x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } $，③ $ - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } $，④ $ x ^ { 2 } + x y + y ^ { 2 } $，⑤ $ x ^ { 2 } + 2 x y - y ^ { 2 } $，⑥ $ - x ^ { 2 } + 4 x y - 4 y ^ { 2 } $ 能用公式法分解因式的有（A）
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个

答案： A

10. 已知实数 $ a $，$ b $，$ c $ 满足：$ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } = a b + b c + c a $，且 $ 2 a + 3 b - 4 c = 2 $，则 $ a + b + c = $6。

答案： $6$

11. 若等式 $ x ^ { 2 } - 3 x + m = ( x - 1 ) ( x + n ) $ 恒成立，则 $ n ^ { m } = $4。

答案： $4$

12. 已知实数 $ x $，$ y $，$ z $ 满足 $ x + y + z = 5 $，且 $ 4 x y + y z + x z = 3 $，则 $ z $ 的最大值为______$\frac{22}{5}$。

答案： $\frac{22}{5}$

13. 分解因式：$ 4 m ^ { 2 } - 4 m - 4 n ^ { 2 } + 1 = $$(2m - 1 + 2n)(2m - 1 - 2n)$。

答案： $(2m - 1 + 2n)(2m - 1 - 2n)$

14. 若 $ x + y = 0 $，$ x y = - 7 $，则 $ x ^ { 2 } y + x y ^ { 2 } = $0，$ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = $14。

答案： $0$；$14$