《2025年百年学典快乐假期暑假作业八年级综合北师大版》

13. 请根据下表信息，写出一个关于温度 $ x ( ^ { \circ } C ) $ 的不等式x≤40。

答案： x≤40

14. 组成三角形的三根木棒中有两根木棒长分别为 3 cm 和 10 cm，则第三根木棒长 $ x $ 的取值范围是$7\lt x\lt13$，若第三根木棒长为奇数，则第三根木棒长是$9cm$和$11cm$。

答案： $7\lt x\lt13$；$9cm$和$11cm$

15. 2022 年 2 月 4 日至 20 日冬季奥运会在北京举行。某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共 180 个进行销售。已知“冰墩墩”摆件的进价为 80 元/个，“冰墩墩”挂件的进价为 50 元/个。
该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为 100 元/个，“冰墩墩”挂件售价定为 60 元/个，若购进的 180 个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利 2900 元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？

答案： 【解析】：设购进“冰墩墩”挂件$x$个，则购进“冰墩墩”摆件$(180 - x)$个。
根据利润公式：利润$=$售价$-$进价，可得到“冰墩墩”挂件每个的利润为$60 - 50 = 10$元，“冰墩墩”摆件每个的利润为$100 - 80 = 20$元。
因为全部售完至少盈利$2900$元，所以可列不等式：$10x + 20(180 - x)\geqslant2900$。
去括号得：$10x + 3600 - 20x\geqslant2900$。
移项得：$10x - 20x\geqslant2900 - 3600$。
合并同类项得：$-10x\geqslant - 700$。
系数化为$1$得：$x\leqslant70$。
【答案】：$70$

16. 利用不等式的基本性质求下列不等式的解集，并在数轴上表示出来：
（1）$ x + \frac { 1 } { 3 } ＜ \frac { 1 } { 2 } $；
（2）$ 2 x - 5 ＜ 1 $；
（3）$ 4 x + 5 \geq x - 4 $；
（4）$ \frac { 2 x - 1 } { 3 } - \frac { 5 x + 1 } { 2 } \leq 1 $。

答案： 【解析】：
（1）
对于不等式$x+\frac{1}{3}\lt\frac{1}{2}$，
根据不等式的基本性质1：不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号方向不变。
在不等式两边同时减去$\frac{1}{3}$，得到$x+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\lt\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
即$x\lt\frac{3}{6}-\frac{2}{6}$，解得$x\lt\frac{1}{6}$。
在数轴上表示时，画一个数轴，找到$\frac{1}{6}$这个点，用空心圆圈表示（因为不包含$\frac{1}{6}$这个值），然后向左画一条线表示$x$的取值范围。
（2）
对于不等式$2x - 5\lt1$，
首先根据不等式的基本性质1，在不等式两边同时加上$5$，得到$2x-5 + 5\lt1 + 5$，
即$2x\lt6$，
再根据不等式的基本性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个大于$0$的整式，不等号方向不变。
在不等式两边同时除以$2$，得到$\frac{2x}{2}\lt\frac{6}{2}$，解得$x\lt3$。
在数轴上表示时，找到$3$这个点，用空心圆圈表示，然后向左画一条线表示$x$的取值范围。
（3）
对于不等式$4x + 5\geq x - 4$，
根据不等式的基本性质1，在不等式两边同时减去$x$，得到$4x + 5-x\geq x - 4-x$，
即$3x+5\geq - 4$，
再在不等式两边同时减去$5$，得到$3x+5 - 5\geq - 4 - 5$，
即$3x\geq - 9$，
然后根据不等式的基本性质2，在不等式两边同时除以$3$，得到$\frac{3x}{3}\geq\frac{-9}{3}$，解得$x\geq - 3$。
在数轴上表示时，找到$-3$这个点，用实心圆圈表示（因为包含$-3$这个值），然后向右画一条线表示$x$的取值范围。
（4）
对于不等式$\frac{2x - 1}{3}-\frac{5x + 1}{2}\leq1$，
先去分母，根据等式的性质，不等式两边同时乘以$6$（$3$和$2$的最小公倍数），得到$6\times\frac{2x - 1}{3}-6\times\frac{5x + 1}{2}\leq6\times1$，
即$2(2x - 1)-3(5x + 1)\leq6$，
去括号得$4x-2-15x - 3\leq6$，
合并同类项得$4x-15x-2 - 3\leq6$，即$-11x-5\leq6$，
根据不等式的基本性质1，在不等式两边同时加上$5$，得到$-11x-5 + 5\leq6 + 5$，
即$-11x\leq11$，
再根据不等式的基本性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个小于$0$的整式，不等号方向改变。
在不等式两边同时除以$-11$，得到$\frac{-11x}{-11}\geq\frac{11}{-11}$，解得$x\geq - 1$。
在数轴上表示时，找到$-1$这个点，用实心圆圈表示，然后向右画一条线表示$x$的取值范围。
【答案】：
（1）$x\lt\frac{1}{6}$；
（2）$x\lt3$；
（3）$x\geq - 3$；
（4）$x\geq - 1$。

17. 2025 年某市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励。现要购买甲、乙两种奖品，已知 1 件甲种奖品和 2 件乙种奖品共需 40 元，2 件甲种奖品和 3 件乙种奖品共需 70 元。
根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共 60 件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的一半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用。

答案： 【解析】：
设甲种奖品的单价为$x$元，乙种奖品的单价为$y$元。
根据“$1$件甲种奖品和$2$件乙种奖品共需$40$元，$2$件甲种奖品和$3$件乙种奖品共需$70$元”，可列方程组$\begin{cases}x + 2y = 40\\2x+3y = 70\end{cases}$
由$x + 2y = 40$可得$x=40 - 2y$，将其代入$2x + 3y = 70$中，得到：
$2(40 - 2y)+3y = 70$
$80-4y + 3y = 70$
$-y=70 - 80=-10$
解得$y = 10$
把$y = 10$代入$x=40 - 2y$，得$x=40-2\times10 = 20$
所以甲种奖品的单价为$20$元，乙种奖品的单价为$10$元。
设购买甲种奖品$m$件，则购买乙种奖品$(60 - m)$件，设总费用为$w$元。
因为甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的一半，所以$m\geqslant\frac{1}{2}(60 - m)$
$m\geqslant30-\frac{1}{2}m$
$m+\frac{1}{2}m\geqslant30$
$\frac{3}{2}m\geqslant30$
解得$m\geqslant20$。
总费用$w = 20m+10(60 - m)=20m + 600-10m=10m + 600$。
因为$10\gt0$，所以$w$随$m$的增大而增大。
所以当$m = 20$时，$w$取得最小值，此时$60 - m=60 - 20 = 40$，$w_{min}=10\times20+600=800$（元）。
【答案】：购买甲种奖品$20$件，乙种奖品$40$件时总费用最少，最少费用是$800$元。