《2025年百年学典快乐假期暑假作业八年级综合北师大版》

22. 19 世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式 $ x ^ { 4 } + 4 $ 的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和 $ ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } $ 的形式，要使用公式就必须添一项 $ 4 x ^ { 2 } $，随即将此项 $ 4 x ^ { 2 } $ 减去，即可得 $ x ^ { 4 } + 4 = x ^ { 4 } + 4 x ^ { 2 } + 4 - 4 x ^ { 2 } = ( x ^ { 2 } + 2 ) ^ { 2 } - 4 x ^ { 2 } = ( x ^ { 2 } + 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x ) ^ { 2 } = ( x ^ { 2 } + 2 x + 2 ) ( x ^ { 2 } - 2 x + 2 ) $，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”。根据以上方法，把下列各式因式分解：
（1）$ 4 x ^ { 4 } + y ^ { 4 } $；$(2x^{2}+2xy + y^{2})(2x^{2}-2xy + y^{2})$
（2）$ a ^ { 2 } - 4 a m - n ^ { 2 } + 4 m n $。$(a + n - 4m)(a - n)$

答案： 【解析】：
（1）
对于$4x^{4}+y^{4}$，我们仿照“热门定理”的方法。
先将式子变形为$(2x^{2})^{2}+(y^{2})^{2}$的平方和形式，为了使用公式，添一项$4x^{2}y^{2}$，再减去此项$4x^{2}y^{2}$，则：
$4x^{4}+y^{4}=4x^{4}+4x^{2}y^{2}+y^{4}-4x^{2}y^{2}=(2x^{2}+y^{2})^{2}-(2xy)^{2}$
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = 2x^{2}+y^{2}$，$b = 2xy$，所以$(2x^{2}+y^{2})^{2}-(2xy)^{2}=(2x^{2}+2xy + y^{2})(2x^{2}-2xy + y^{2})$。
（2）
对于$a^{2}-4am - n^{2}+4mn$，我们可以先分组，将前两项和后两项分别组合：
$a^{2}-4am - n^{2}+4mn=(a^{2}-4am)-(n^{2}-4mn)$
对括号内分别提取公因式得：$a(a - 4m)-n(n - 4m)$
进一步变形为$a(a - 4m)-n[-(4m - n)]=a(a - 4m)+n(4m - n)$
再将式子变形为$a^{2}-4am+4m^{2}-4m^{2}-n^{2}+4mn=(a - 2m)^{2}-(n^{2}-4mn + 4m^{2})$
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，$n^{2}-4mn + 4m^{2}=(n - 2m)^{2}$，则$(a - 2m)^{2}-(n - 2m)^{2}$
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a=a - 2m$，$b=n - 2m$，所以$(a - 2m)^{2}-(n - 2m)^{2}=[(a - 2m)+(n - 2m)][(a - 2m)-(n - 2m)]=(a - 2m + n - 2m)(a - 2m - n + 2m)=(a + n-4m)(a - n)$。
【答案】：（1）$(2x^{2}+2xy + y^{2})(2x^{2}-2xy + y^{2})$；（2）$(a + n - 4m)(a - n)$

23. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理如下：如对于多项式 $ x ^ { 4 } - y ^ { 4 } $，因式分解的结果是 $ ( x - y ) ( x + y ) ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) $，若取 $ x = 9 $，$ y = 9 $ 时，则各个因式的值是 $ ( x - y ) = 0 $，$ ( x + y ) = 18 $，$ ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) = 162 $，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码。对于多项式 $ 4 x ^ { 3 } - x y ^ { 2 } $，取 $ x = 10 $，$ y = 10 $ 时，请你写出用上述方法产生的密码。（写出一个即可）103010

答案： 【解析】：本题可先对多项式$4x^{3}-xy^{2}$进行因式分解，再将$x = 10$，$y = 10$代入各因式求出对应的值，最后根据“因式分解”法产生密码的规则写出密码。
- **步骤一：对多项式$4x^{3}-xy^{2}$进行因式分解**
提取公因式$x$可得：$4x^{3}-xy^{2}=x(4x^{2}-y^{2})$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对$4x^{2}-y^{2}$继续分解：$4x^{2}-y^{2}=(2x)^{2}-y^{2}=(2x + y)(2x - y)$
所以$4x^{3}-xy^{2}=x(2x + y)(2x - y)$。
- **步骤二：将$x = 10$，$y = 10$代入各因式求值**
当$x = 10$，$y = 10$时，$x = 10$。
$2x + y=2\times10 + 10 = 30$。
$2x - y=2\times10 - 10 = 10$。
- **步骤三：根据规则写出密码**
根据“因式分解”法产生密码的规则，将各因式的值组合起来，可得到密码为$103010$（答案不唯一，也可以是$101030$、$301010$）。
【答案】：$103010$

24. 如果一个非零整数 $ a $ 能被 $ 3 $ 整除，那么就称 $ a $ 是“3 倍数”。
（1）蛟蛟说“$ 25 ^ { 2 } - 21 ^ { 2 } $”是“3 倍数”，川川说“$ 12 ^ { 2 } - 6 \times 12 + 9 ^ { 2 } $”，也是“3 倍数”，请判断谁的说法正确，并说明理由；
（2）如果一个正整数是“3 倍数”，且各个数位上的数字都不为 $ 0 $，满足千位数字与百位数字的平方差是十位数字的平方，千位数字与十位数字的和为 $ 9 $，请写出满足条件的所有“3 倍数”，并说明理由。

答案： 【解析】：
（1）
首先判断“$25^{2}-21^{2}$”是否为“$3$倍数”：
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，对于$25^{2}-21^{2}$，其中$a = 25$，$b = 21$，则$25^{2}-21^{2}=(25 + 21)(25 - 21)$。
计算可得$(25 + 21)(25 - 21)=46\times4 = 184$，$184\div3=\frac{184}{3}$，不能被$3$整除，所以“$25^{2}-21^{2}$”不是“$3$倍数”，蛟蛟的说法错误。
然后判断“$12^{2}-6\times12 + 9^{2}$”是否为“$3$倍数”：
根据完全平方公式$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$，对于$12^{2}-6\times12 + 9^{2}$，可变形为$12^{2}-2\times3\times12+9^{2}=(12 - 9)^{2}$。
计算可得$(12 - 9)^{2}=3^{2}=9$，$9\div3 = 3$，能被$3$整除，所以“$12^{2}-6\times12 + 9^{2}$”是“$3$倍数”，川川的说法正确。
（2）
设这个正整数为四位数$\overline{abcd}$（$a$、$b$、$c$、$d$为整数，且$1\leqslant a\leqslant9$，$1\leqslant b\leqslant9$，$1\leqslant c\leqslant9$，$1\leqslant d\leqslant9$）。
由已知条件可得方程组：
$\begin{cases}a^{2}-b^{2}=c^{2}&(1)\\a + c=9&(2)\end{cases}$
由$(1)$式根据平方差公式可得$(a + b)(a - b)=c^{2}$，由$(2)$式得$c = 9 - a$。
将$c = 9 - a$代入$(a + b)(a - b)=c^{2}$中，因为$a$、$b$、$c$为正整数且$1\leqslant a\leqslant9$，$1\leqslant b\leqslant9$，$1\leqslant c\leqslant9$。
由$a + c=9$，$c=9 - a\gt0$，得$a\lt9$，又$a\geqslant1$。
当$a = 5$时，$c=9 - 5 = 4$，代入$a^{2}-b^{2}=c^{2}$，即$25-b^{2}=16$，解得$b = 3$。
当$a = 6$时，$c=9 - 6 = 3$，代入$a^{2}-b^{2}=c^{2}$，即$36 - b^{2}=9$，解得$b=\sqrt{27}$（舍去，因为$b$为整数）。
当$a = 7$时，$c=9 - 7 = 2$，代入$a^{2}-b^{2}=c^{2}$，即$49 - b^{2}=4$，解得$b=\sqrt{45}$（舍去，因为$b$为整数）。
当$a = 8$时，$c=9 - 8 = 1$，代入$a^{2}-b^{2}=c^{2}$，即$64 - b^{2}=1$，解得$b=\sqrt{63}$（舍去，因为$b$为整数）。
所以$a = 5$，$b = 3$，$c = 4$。
因为这个数是“$3$倍数”，根据能被$3$整除的数的特征：一个数各位数字之和能被$3$整除，这个数就能被$3$整除。
$a + b + c + d=5 + 3+4 + d=12 + d$，因为$1\leqslant d\leqslant9$且$12 + d$能被$3$整除，所以$d = 3$，$d = 6$，$d = 9$。
所以满足条件的“$3$倍数”为$5343$，$5346$，$5349$。
【答案】：（1）川川的说法正确，理由：$25^{2}-21^{2}=(25 + 21)(25 - 21)=46\times4 = 184$，$184\div3$不能整除，不是“$3$倍数”；$12^{2}-6\times12 + 9^{2}=(12 - 9)^{2}=9$，$9\div3 = 3$，是“$3$倍数”。（2）满足条件的“$3$倍数”为$5343$，$5346$，$5349$。理由：设四位数为$\overline{abcd}$，由$\begin{cases}a^{2}-b^{2}=c^{2}\\a + c=9\end{cases}$，解得$a = 5$，$b = 3$，$c = 4$，又因为该数是“$3$倍数”，$a + b + c + d=12 + d$能被$3$整除，且$1\leqslant d\leqslant9$，所以$d = 3$，$d = 6$，$d = 9$。