《2025年百年学典快乐假期暑假作业八年级综合北师大版》

17. 如下图所示，在网格中已知格点 $\triangle ABC$ 和点 $P$，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).
(1) 在图 $1$ 中作 $\triangle A'B'C'$，使其与 $\triangle ABC$ 关于点 $P$ 成中心对称；步骤：连接$AP$并延长至$A'$，使$PA' = PA$；连接$BP$并延长至$B'$，使$PB' = PB$；连接$CP$并延长至$C'$，使$PC' = PC$；连接$A'B'$，$B'C'$，$C'A'$，则$\triangle A'B'C'$就是所求作的与$\triangle ABC$关于点$P$成中心对称的三角形（作图痕迹：三条连线$AP$，$BP$，$CP$的延长线及$\triangle A'B'C'$的三边）。
(2) 在图 $2$ 中作四边形 $ABDP$，且四边形 $ABDP$ 是中心对称图形.步骤：连接$AP$并延长至$D$，使$PD = PA$；连接$BD$，则四边形$ABDP$就是所求作的中心对称图形（作图痕迹：连线$AP$的延长线及$BD$）。

答案： 1. （1）
步骤：
连接$AP$并延长至$A'$，使$PA' = PA$；
连接$BP$并延长至$B'$，使$PB' = PB$；
连接$CP$并延长至$C'$，使$PC' = PC$；
连接$A'B'$，$B'C'$，$C'A'$，则$\triangle A'B'C'$就是所求作的与$\triangle ABC$关于点$P$成中心对称的三角形（作图痕迹：三条连线$AP$，$BP$，$CP$的延长线及$\triangle A'B'C'$的三边）。
2. （2）
步骤：
连接$AP$并延长至$D$，使$PD = PA$；
连接$BD$，则四边形$ABDP$就是所求作的中心对称图形（作图痕迹：连线$AP$的延长线及$BD$）。
综上，（1）按上述步骤作出$\triangle A'B'C'$；（2）按上述步骤作出四边形$ABDP$。

18. 小姝家最近买了一种如图 $1$ 所示的瓷砖. 请你用 $4$ 块如图 $1$ 所示的瓷砖拼铺成一个正方形地板，使拼铺的图案成中心对称图形，请在图 $2$、图 $3$ 中各画出一种拼法. (要求：①两种拼法各不相同；②为节约答题时间，方便扫描试卷，所画图案阴影部分用黑色斜线表示即可；③弧线大致画出即可)

答案：

19. 如下图所示的方格中，每个小正方形的边长都为 $1$，$\triangle ABC$ 与 $\triangle A_1B_1C_1$ 关于某点成中心对称.
(1) 画出 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A_1B_1C_1$ 的对称中心 $O$.
(2) 画出将 $\triangle A_1B_1C_1$，沿直线 $DE$ 方向向上平移 $5$ 格得到的 $\triangle A_2B_2C_2$.
(3) 要使 $\triangle A_2B_2C_2$ 与 $\triangle CC_1C_2$ 重合，则将 $\triangle A_2B_2C_2$ 绕点 $C_2$ 顺时针方向旋转，至少要旋转______度. (不要求证明过程)
(4) 求 $\triangle CC_1C_2$ 的面积.
(3) 要使 $\triangle A_2B_2C_2$ 与 $\triangle CC_1C_2$ 重合，则将 $\triangle A_2B_2C_2$ 绕点 $C_2$ 顺时针方向旋转，至少要旋转90度. (不要求证明过程)
(4) 求 $\triangle CC_1C_2$ 的面积.10

答案： 【解析】：
(1) 连接 $AA_1$，$BB_1$，它们的交点即为对称中心 $O$。
(2) 根据平移的性质，将$\triangle A_1B_1C_1$的各顶点沿直线 $DE$ 方向向上平移 $5$ 格，得到$\triangle A_2B_2C_2$。
(3) 观察图形可知，$C_1C_2 = CC_2$，$\angle C_1C_2C = 90^{\circ}$，要使$\triangle A_2B_2C_2$与$\triangle CC_1C_2$重合，将$\triangle A_2B_2C_2$绕点$C_2$顺时针方向旋转，至少要旋转$90$度。
(4) $CC_1 = 4$，$CC_2 = 5$，$\triangle CC_1C_2$是直角三角形，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），这里$a = CC_1 = 4$，$h = CC_2 = 5$，则$S_{\triangle CC_1C_2}=\frac{1}{2}\times4\times5 = 10$。
【答案】：
(3) $90$
(4) $10$